الوقت تعقيد تحليل التعليمات البرمجية
-
07-07-2019 - |
سؤال
int foo(int n)
{
int x=2;
while (x<n)
{
x = x*x*x;
}
return x;
}
أنا بحاجة إلى تحليل تعقيد الوقت.لاحظت أن تصل إلى n
أسرع بكثير من مجرد log(n)
.أعني أنه لا أقل من O(log(n))
أن تفعل.قرأت الجواب ولكن ليس لدى أي فكرة كيف حصلت عليه:فمن O(log(log(n))
.الآن كيف يمكنك معالجة هذا السؤال ؟
المحلول
السماح
L3 = تسجيل الدخول إلى قاعدة 3 L2 = تسجيل الدخول إلى قاعدة 2
ثم الجواب الصحيح هو O(L3(L2(n)) وليس O(L2(L2(n)).
نبدأ مع x = x * 2.x سوف تزيد أضعافا مضاعفة حتى يصل إلى n ، مما يجعل الوقت تعقيد O(L2(n))
تنظر الآن x = x * x.× زيادة أسرع مما سبق.في كل التكرار قيمة x يقفز إلى مربع قيمتها السابقة.القيام ببعض الرياضيات بسيطة, هنا هو ما نحصل على:
من أجل x = 2 n = 4, تكرار اتخاذها = 1 ن = 16, تكرار اتخاذها = 2 n = 256, تكرار اتخاذها = 3 n = 65536, تكرار اتخاذها = 4
وبالتالي تعقيد الوقت O(L2(L2(n)).يمكنك التحقق من ذلك عن طريق وضع القيم أعلاه قيم n.
يأتي الآن إلى مشكلتك ، x = x * x * x.سيؤدي هذا إلى زيادة أسرع مما x = x * x.هنا هو الجدول:
من أجل x = 2 n = 8, تكرار اتخاذها = 1 n = 512, تكرار اتخاذها = 2 ن = (512*512*512), التكرار اتخذت = 3 وهكذا
إذا نظرتم إلى هذه بعناية ، تبين أن هذا O(L3(L2(n)).L2(ن) سوف تحصل على الطاقة من اثنين ، ولكن منذ كنت تأخذ مكعب x في كل التكرار ، عليك أن تأخذ السجل إلى قاعدة 3 من معرفة العدد الصحيح من التكرار المتخذة.
لذلك أعتقد أن الجواب الصحيح هو O(log-إلى-قاعدة-3(سجل إلى قاعدة-2(n))
تعميم هذا ، إذا x = x * x * x * x * ..(ك مرات), ثم تعقيد الوقت O(log-إلى-قاعدة-k(سجل إلى قاعدة-2(ن)
نصائح أخرى
والتفكير في ذلك بوصفها وظيفة العودية:
f(i) = f(i-1)^3
وإذا كنت توسيعه:
f(i) = ((f(i-k)^3)^3)[...k times] = f(i-k)^(3^k) = f(0)^(3^i)
وظيفة تنمو كقوة من السلطة ... وبالتالي فإن الوقت (التكرار) للوصول إلى عدد معين (أي، حساب معكوس دالة) هو لوغاريتم اللوغاريتم.
وكما هو الحال في المثال f(0) = 2
الخاص بك، ونحن نريد أن نعرف متى f(i) >= n
يجري n
معلمة الإدخال (وi
عدد التكرارات):
f(i) = 2^(3^i) >= n
3^i >= log_2(n)
i >= log_3(log_2(n))
وهكذا للوصول إلى قيمة n
، فإنه takes log_3(log_2(n))
التكرار (محاصرة في التعامل مع الأعداد الصحيحة لتجاوز ذلك).
وإذا كانت وظيفة ستكون كما يلي:
f(i) = 2*f(i-1) //e.g. x=2*x
وبعد ذلك النمط على النحو التالي:
f(i) = 2*2*[...k times]*f(i-k) = f(i-k)*(2^k) = f(0)*(2^i)
وفي هذه الحالة، ثم معكوس دالة سيكون وغاريتم واحد في قاعدة 2.
وبلدي الرياضيات ليست صارمة جدا، ولكن أتمنى أن الحصول على هذه الفكرة.
التفكير في كيفية x التغييرات مع عدد من التكرارات خلال الحلقة.في كل مرة كنت المكعب ذلك.حتى بعد أن التكرار قيمة 2 مكعبة ، مكعبة مرة أخرى...حتى انا مرات.دعونا نستخدم x(ط) دلالة هذا التعبير.دعونا نقول × (0)=2 x(1)=23 ، الخ (أنا باستخدامب يعني رفع إلى bth السلطة).
نحن القيام به عندما x(i)>=n.كم من الوقت يستغرق ؟ دعونا حل أنا.
First, we take a log on both sides: ln(x(i))>=ln(n) ln(x(i)) = ln(x(i-1))*3 = ln(x(i-2))*(3**2) = ... = ln(x(0))*(3**i) (the above uses [this property][1]: ln(x**b)==ln(x)*b) so, 3**i * 2 >=ln(n). Let's take another logarithm: ln(3**i * 2) = ln(2) + ln(3)*i so ln(2) + ln(3)* i >= ln(ln(n)) Now we can solve for i: i >= ( ln(ln(n))-ln(2) ) / ln(3)
يمكننا تجاهل عوامل ثابتة و نحن مع اليسار استنتاج أننا سوف تأخذ تسجيل الدخول(log(n)) الخطوات.هذا تعقيد الخوارزمية.
نأمل, كسر جميع الخطوات مثل أن يساعد.
إذا كان رمز داخل الحلقة في حين
x = 2*x;
س ن ستصل في O (سجل (ن)) تكرارات. منذ كنت التكعيب س بدلا من مجرد ضرب من قبل ثابت، سوف تصل ن أسرع.
ونظرا
log ( A * x ) == log ( A ) + log ( x )
log ( x * x * x ) == 3 * log ( x )
وهكذا
log ( log ( x * x * x ) ) == log ( 3 * log ( x ) )
== log ( 3 ) + log ( log ( x ) )
وكيف أسرع أو أبطأ بكثير (تقاس حسب عدد التكرارات من الحلقة) سوف تكون هذه الوظيفة من وظيفة الخاص بك؟
int log_foo ( int n )
{
double log_x = log ( 2 );
const double log_n = log ( n );
while ( log_x < log_n )
{
log_x = 3 * log_x;
}
return exp ( log_x );
}
وكيف أسرع أو أبطأ بكثير سوف تكون هذه الوظيفة من وظيفة الخاص بك؟
int log_log_foo ( int n )
{
double log_log_x = log ( log ( 2 ) );
const double log_log_n = log ( log ( n ) );
const double log_3 = log ( 3 );
while ( log_log_x < log_log_n )
{
log_log_x += log_3;
}
return exp ( exp ( log_log_x ) );
}
ولكن هذه الوظيفة بزيادة فقط log_log_x
بواسطة ثابت، لذلك فمن السهل للعمل على كيفية العديد من التكرارات يفعل.
واسمحوا i
يكون عدد من الخطوات التكرار وx(i)
قيمة x
بعد خطوات i
. لدينا
x(0) = 2
x(i) = x(i-1)³
وبلغ عدد من الخطوات هو أكبر i
بحيث x(i) < n
.
لدينا
log x(i) = log x(i-1)³
= 3·log x(i-1)
= 3·log x(i-2)³
= 3²·log x(i-2)
= 3^i·log x(0)
= 3^i·log 2
⇒ log log x(i) = log (3^i·log 2)
= log 3^i + log log 2
= i·log 3 + log log 2
ولوغاريتم يتزايد بشكل صارم، لذلك
x(i) < n ⇔ log log x(i) < log log n
⇔ i·log 3 + log log 2 < log log n
⇔ i < (log log n - log log 2) / log 3 ∈ O(log log n)
لماذا لا تضيف متغير عداد لحساب عدد التكرارات من الحلقة. طباعته قبل ترجع الدالة.
وثم استدعاء الدالة لمجموعة من القيم، على سبيل المثال 3 إلى 1،000،000 لتبدأ. ثم رسم نتيجة باستخدام شيء من هذا القبيل GNUPlot .
وبعد ذلك معرفة ما إذا كان الرسم البياني يطابق منحنى المعروفة.