كيف تحسب النقطة العائمة في راديكس بخلاف 10؟

Question

بالنظر إلى مقال ويكيبيديا نقطة radix., ، كيف يمكن للمرء حساب المكافئ الثنائي 10.1 أو ما يعادل عشرية 17.17؟ بالنسبة إلى السابق، ما هو ما يعادل الثنائي العاشر؟ لهذا الأخير، تمثيل عرافة 17/100؟

أبحث عن خوارزمية أكثر من الحلول لتلك الأمثلة فقط.

Answer 1

لتحويل عشري 10.1 إلى ثنائي، افصل الأجزاء العددية والكسرية وتحويل كل منهما بشكل منفصل.

لتحويل الجزء الصحيح، استخدم تقسيم عدد صحيح متكرر بنسبة 2، ثم اكتب الباقي بترتيب عكسي:

10/2 = 5 باقي 0

5/2 = 2 الباقي 1

2/2 = 1 الباقي 0

1/2 = 0 ما تبقى 1

الجواب: 1010.

لتحويل الجزء الكسري، استخدم الضرب المتكرر بنسبة 2، وطرح الجزء الأمثل في كل خطوة. تمثل الأجزاء الصحيحة، حسب جيل، رقمك الثنائي:

0.1 * 2 = 0.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

0.8 * 2 = 1.6

0.6 * 2 = 1.2

0.2 * 2 = 0.4

0.4 * 2 = 0.8

... (دورة تكرر إلى الأبد)

لذلك Decimal 0.1 ثنائي 0.000110011001100 ...

(للحصول على شرح أكثر تفصيلا، انظر الروتين dec2bin_i () و dec2bin_f () في مقالتي http://www.exploringbinary.com/base-conversion-in-php-using-bcmath/ .)

للحصول على السداسي عشري، استخدم نفس الإجراء، باستثناء مقسمي / مضاعف من 16 بدلا من 2. يجب تحويل الأجزاء العبقية والأجزاء العددية أكبر من 9 إلى أرقام Hex مباشرة: 10 يصبح A، 11 يصبح ب، ...، 15 يصبح F وبعد

Answer 2

رقم إنهاء (رقم يمكن تمثيله بعدد محدود من الأرقام)₁ في قاعدة ب₁, ، قد ينتهي كونه رقم غير مهم في قاعدة مختلفة ب₂. وبعد على العكس، عدد عدم الإنهاء في قاعدة واحدة ب₁ قد تتحول إلى رقم إنهاء في قاعدة ب₂.

الرقم 0.1.₁₀ عند تحويلها إلى ثنائي رقم غير مهم، كما هو 0.17₁₀ عند تحويلها إلى رقم سداسي عشري. ولكن ينهي رقم 0.1₃ في Base 3، عند تحويلها إلى Base 10 هو عدم الإنهاء، رقم التكرار 0. (3)₁₀ (يدل على أن الرقم 3 يكرر). وبالمثل، تحويل 0.1₁₀ إلى ثنائي و 0.17₁₀ إلى سداسي عشري، ينتهي المرء بأرقام عدم الإنهاء المتكررة 0.0 (0011)₂ و 0.2 (B851E)₁₆

لهذا السبب، عند تحويل هذا الرقم من قاعدة واحدة إلى أخرى، قد تجد نفسك في الاضطرار إلى تقريب الرقم بدلا من وجود تمثيل دقيق تماما.

Answer 3

الخوارزمية بسيطة للغاية، ولكن في الممارسة العملية يمكنك القيام بالكثير من التعديلات مع طاولات البحث والسجلات لتسريعها. ولكن بالنسبة للخوارزمية الأساسية، قد تجرب شيئا مثل هذا:

shift=0;

while v>=base,  v=v/base, shift=shift+1;  

Next digit: 
if v<1.0 && shift==0, output the decimal point
else 
   D=floor(v)
   output D
   v=v-D
v=v*base
shift = shift-1
if (v==0) exit;
goto Next Digit

قد تقوم أيضا بوضع اختبار في هناك لإيقاف الطباعة بعد N أرقام لعشرات العشرات الأطول المتكررة.

Answer 4

"المكافئ الثنائي" لعشر واحد هو نصف واحد، أي بدلا من 1/10 ^ 1، إنه 1/2 ^ 1.

يمثل كل رقم قوة اثنين. الأرقام وراء نقطة radix هي نفسها، من أنها تمثل فقط 1 على قوة اثنين:

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 

لذلك لمدة 10.1، من الواضح أنك تحتاج إلى "8" و "2" لجعل الجزء 10. 1/2 (0.5) أكثر من اللازم، 1/4 (0.25) هو أكثر من اللازم، 1/8 (0.125) أكثر من اللازم. نحتاج إلى 1/16 (0.0625)، والتي سوف تترك لنا مع 0.0375. 1/32 هو 0.03125، لذلك يمكننا أن نأخذ ذلك أيضا. حتى الآن لدينا:

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
 1 0 1 0    0   0   0   1     1

مع خطأ 0.00625. 1/64 (0.015625) و 1/128 (0.0078125) كلاهما أكثر من اللازم، 1/256 (0.00390625) سيعمل:

 8 4 2 1 . 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256
 1 0 1 0    0   0   0   1     1    0   0     1

مع خطأ 0.00234375.

لا يمكن التعبير عن .1 بالضبط في ثنائي (لا يمكن التعبير عن 1/3 تماما بالضبط). اعتمادا على المكان الذي تضع فيه باديكس، يجب أن تتوقف في النهاية أن تتوقف، وربما جولة، وقبول الخطأ.

Answer 5

قبل أن أكون في ضوء ذلك في ضوء مكتبة GMP الخاصة بي، إليك حيث حصلت على محاولة جعل كود PHP Rick Rican's PHP عام لأي قاعدة من 2 إلى 36.

Function dec2base_f(ByVal ddecimal As Double, ByVal nBase As Long, ByVal dscale As Long) As String
    Const BASES = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ" 'up to base 36
    Dim digitCount As Long
    Dim wholeNumber As Double
    Dim digit As String * 1
    digitCount = 0
    dscale = max(dscale, Len(CStr(ddecimal)) - Len("0."))
    Dim baseary_f As String
    baseary_f = "0."
    Do While ddecimal > 0 And digitCount < dscale
        ddecimal = ddecimal * nBase
        digit = Mid$(BASES, Fix(ddecimal) + 1)
        baseary_f = baseary_f & digit '"1"
        ddecimal = ddecimal - Fix(ddecimal)
        digitCount = digitCount + 1
    Loop
    dec2base_f = baseary_f
End Function

Function base2dec_f(ByVal baseary_f As String, nBase As Double) As Double
    Const BASES As String = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    Dim decimal_f As Double
    Dim i As Long
    Dim c As Long
    For i = Len(baseary_f) To Len("0.") + 1 Step -1
        c = InStr(BASES, Mid$(baseary_f, i, 1)) - 1
        decimal_f = decimal_f + c
        decimal_f = decimal_f / nBase
    Next
    base2dec_f = decimal_f
End Function

Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 2, 200), 2) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 8, 200), 8) --> 0.09
Debug.Print base2dec_f(dec2base_f(0.09, 16, 200), 16) --> 0.09