احتمال اختيار مجموعة معينة، عن طريق أخذ العينات دون استبدال من التوزيع القاطع

Question

لنفترض أن لدي توزيع قاطع على العناصر $ 1، \ Dots، N $ ، الذي يعين الاحتمال $ p_i $ < / span> إلى البند $ i $ $ . أنا الآن عينة مرارا وتكرارا من هذا التوزيع، حتى حصلت على $ K $ الكائنات الفريدة. أرغب في حساب احتمال أن مجموعة الكائنات التي تم الحصول عليها هي بالضبط $ \ {1، \ Dots، k \} $ .

هل هناك طريقة فعالة لحساب هذا الاحتمال، معطى $ po_1، \ dots، p_n $ و $ k $

أستطيع أن أرى أن الاحتمال له النموذج

$$ p=sum_ \ sigma \ prod_ {i= 1} ^ k {p _ {\ sigma (i)} \ Over (1-p _ {\ sigma (1 )}) \ CDOTS (1-P _ {\ Sigma (1)} - \ dots-p _ {\ sigma (i-1)})}، $ حيث يكون المجموع على جميع التباديل $ \ sigma \ in s_k $ على $ \ {1، \ dots، k \} $ . (هنا $ \ sigma $ يمثل الترتيب الذي يتم فيه تحديد العناصر $ 1، \ نقاط، K $ . ومع ذلك، فإن هذه الصيغة للحصول على الاحتمال تنطوي على $ K! $ مصطلحات، لذلك فإن الحوسبة الاحتمال بهذه الطريقة سيستغرق وقتا طويلا في $ k $ . هل هناك طريقة أكثر كفاءة لحسابها؟

بالطبع، دون فقدان العمومية يمكننا أن نفترض $ n= k + 1 $ .

Answer 1

مقابل كل $ \ sigma \ subseteq [k + 1] $ ، يمكنك حساب الاحتمالية $ q (\Sigma) $ أن أول $ | \ Sigma | $ العناصر لتظهر هي $ \ Sigma $ استخدام التكرار التالي: $ Q (\ emplyset)= 1 $ وعندما $ \ sigma \ neq \ expryset $، $$ q (\ sigma)=sum _ {\ sigma \ in \ sigma} q (\ sigma- \ sigma) \ frac {p_ \ sigma} {p_ \ sigma + sum {\ tau \ notin \ sigma} p_ \ tau}وبعد $ أنت مهتم بك $ q ([k]) $ .الوقت الكامل للحساب هو $ O (k2 ^ k) $ (تجاهل الحساب)، إذا قمت بحساب المجموع في المقام في جنبا إلى جنب.ربما يمكن تحسين هذا إلى $ O (2 ^ k) $ .