ترميز اللون للحصول على خوارزمية FPT للحصول على مثلثات D $ K $ Disfiets

Question

النظر في المشكلة التالية:

<القوي> الإدخال : لرسم بياني <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ G= (V، E) $ وعدد صحيح <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ k \ in \ mathbb {n} $

<القوي> ناتج : لهل هناك <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ ك $ قنة-منفصلتين مثلثات في <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ G $ < / SPAN>

افترض أننا نريد استخدام ترميز اللون لتطوير خوارزمية FPT لذلك، كما فعل هنا (بدءا من الشريحة 60). تقترح المواد المرجعية الطريقة التالية:

1. اختيار تلوين عشوائي $ v \ rawrow [3K] $
2. تحقق مما إذا كان هناك حل ملون حيث $ 3K $ رؤوس $ k $ مثلثات استخدام الألوان المميزة.

مقابل 2. يقترح ذلك، من بين آخرين، هذه الطريقة:

وحاول كل التقليب <الطبقة تمتد="الرياضيات حاوية"> $ \ بي $ من <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ [3K] $ ومعرفة ما اذا كان هناك مثلثات مع الألوان <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ (\ بي (1)، \ بي (2)، \ بي (3))، (\ بي (4)، \ بي (5)، \ بي (6 )، \ النقاط) $

لا أفهم لماذا يتعين علينا التحقق من كل التقليب $ \ Pi $ من الألوان. لن يكون ذلك كافيا فقط للتحقق من كل ثلاث مرات من القمم، ومعرفة ما إذا كان هناك مثلث وإذا كان الأمر كذلك، فحسب فقط هذا المثلث إذا كان يستخدم الألوان فقط التي لم نرها من قبل؟ مثل ذلك:

<لى>

لكل ثلاثية $ س، ص، ض \ في V $ :

<لى>

إذا <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ س، ص، ض $ تشكيل مثلث والألوان <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ {ج (خ)، ج (ص)، ج (ض)} $ لا colors_seen_so_far:

2.1 colors_seen_so_far += $ \ {c (x)، c (y)، c (z) \} $

2.2 num_triangles += 1

وحيث أننا تهيئة colors_seen_so_far= <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ \ emptyset $ وnum_triangles= <تمتد الطبقة="الرياضيات حاوية"> $ 0 $

Answer 1

لا، هذا غير صحيح.

كمثال مضاد، لنفترض أن لدينا بياني يتكون من مثلث مركزي، جنبا إلى جنب مع 3 مثلثات خارجية، بحيث ينضم كل مثلث خارجي إلى المثلث المركزي من قبل قمة واحدة مشتركة (أي، يتم تحديد كل قمة من مثلث المركز المركزيمع قمة واحدة من واحد من المثلث الخارجي).

بوضوح، حل $ k= 3 $ سوف تأخذ المثلثات الخارجية الثلاثة وعدم تناول المثلث الداخلي.

افترض أن التلوين العشوائي يعين لونا مميزا لكل قمة (خلاف ذلك لا يوجد حل ملون).

إذا كانت الخوارزمية الجشع تعتبر المثلث المركزي أولا، فسوف يأخذها دائما، ولكن هذا غير صحيح.