جدولة لتقليل الفجوات مقطوعة

Question

لدي وظيفة واحدة من طول الوحدة، مجموعة من $ n $ slots، وميزانية $ B $ الوحدات. إذا تم تحديد المهمة في فتحة $ T $ ، ثم سوف تستهلك $ C (T) $ الوحدات من ميزانية $ B $ . إذا لم يتم جدولة المهمة لفترة من $ x $ فتحات متتالية، ثم عقوبة $ \ llloor x / 2 \ Rfloor $ يحدث. الهدف هو جدولة المهمة من أجل تقليل مجموع العقوبات.

على سبيل المثال، ل $ n= 12 $ ، إذا تم جدولة المهمة في الفتحة 1، في الفتحة 3، في الفتحة 6، وفي الفتحة 12 دولارا $ ، ثم مجموع العقوبات هو $ \ llloor 1/2 \ rfloor + \ lfloor 2/2 \ rfloor + \ lloor 5 / 2 \ rfloor= 0 + 1 + 2= 3 $ .

هل هذه المشكلة NP-Hard؟

أحاول تقليل مشكلة الرنزات إليها. من الصعب تحويل القيم في مشكلة الكتلة إلى العقوبات بطريقة أو بأخرى، لأنه بمجرد تحديد المهمة في $ T $ ، تتم تهيئة العقوبة.

Answer 1

المشكلة هي القدرة القابلة للحل متعدد الحدود. لتجنب حالات الحافة من الأفضل أن تعتقد أن المهمة يجب جدولة في وقت $ 0 $ وهذا $ c (0 )= 0 $ .

دع $ opt [t، p] يكون الحد الأدنى من الميزانية التي يجب إنفاقها من أجل جدولة المهمة في أول $ T $ فتحات مع عقوبة عامة على الأكثر $ p $ ومع القيد الإضافي الذي يجب تحديد المهمة فيه في الوقت $ t $ .

دع $ p (t '، t)=big \ lfloor \ frac {t-t'-1} {2} \ big \ rfloor $ be العقوبة المتكبدة إذا تم جدولة الوظيفة في بعض الأحيان $ T '$ و $ t> t' $ و ليس من المقرر في أي وقت بينهما.

ثم $ opt [0، p]= 0 $ ، ول $ t> 0 $ : $$ تختار [t، p]= c (t) + \ min _ {\ sentultack {t '= 0، \ dots، t-1 \\ p (t'، t) \ le p}} opt \ left [t '، P - P (T '، T) \ right]

الحد الأدنى من العقوبة القابلة للتحقيق حتى وقت $ t $ ، مع القيد أن المهمة مجدولة في الوقت $ t $ ، ثم: $$ \ m mu (t)=min \ {p \ in \ {1، \ dots، \ llloor t / 2 \ rfloor \} \ mid opt [t، p] \ le b \}

والحد الأدنى من العقوبة التي يمكن تحقيقها لمشكلتك هي: $$ \ min_ {t= 0، \ dots، n} \ left \ {mu (t) + p (t، n + 1) \ right \}.

لاحظ أن هناك على معظم $ n \ cdot (p (0، n) +1)= o (n ^ 2) $ القيم UST $ opt [p، t] $ لحساب.