لماذا قدرة قناة AWGN Infinite؟

Question

أعلمني أستاذي أن قدرة قناة قناة AWGN غير محدودة دون أي قيود طاقة المدخلات.الضجيج هو $ z \ sim \ mathcal {n} (0، \ sigma ^ 2) $ .لا يوجد قيد على إشارة الإدخال.لا أفهم كيف يمكن للأستاذ أن يقول مباشرة قدرة القناة لا حصر لها.لا نحتاج إلى تعظيم المعلومات المتبادلة بين المدخلات والإخراج للحصول على سعة القناة؟كيف تفعل ذلك للمتغيرات المستمرة؟

Answer 1

هنا هو مخطط ترميز يدل على الفكرة الرئيسية:

الترميز: دع قيود الطاقة $ P $ يمكن إصلاحها ونفترض أننا نريد إرسال معلومات واحدة بت. حددنا نظام الترميز لدينا ك $ x (0)=sqrt {p}، x (1)= - \ sqrt {p} $ ، حيث $ x $ هي وظيفة الترميز.

فك التشفيم: دع $ y $ تشير إلى الإشارة المستلمة و $ Z $ ضوضاء غاوسية مضافة مثلك. وضعنا فك الترميز ك $ \ hat {x}=mathbb {1} _ {\ {y> 0 \}} (y) $ ، حيث $ \ Mathbb {1} _a (W) $ هي وظيفة المؤشر التي توفر $ 1 $ إذا $ w \ in a $ و $ 0 $ غير ذلك.

احتمال الخطأ: دع $ p_e $ تشير إلى احتمال الخطأ. نفترض أن أجزاء المعلومات على الأرجح بنفس القدر من الأرجح، حيث يمكننا ببساطة استخدام الترميز المصدر الأمثل للتأكد من أنها. ثم،

\ ابدأ {align} p_e &=frac {1} {2} p (y> 0 | x= - \ sqrt {p}) + \ frac {2} {2} p (y \ leq 0 | x=sqrt {p}) \\ &=frac {1} {2} p (z> \ sqrt {p} | x= - \ sqrt {p}) + \ frac {2} {2} p (z \ leq - \ sqrt {p} | x=sqrt {p}) \\ &= p (z> \ sqrt {p})= 1 - \ phi \ left (\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ 2}} \ right)، \ End {محاذاة}

أين $ \ phi (t)=int _ {- \ infty} ^ t \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {-t ^ 2} {2}} $ هو CDF Gaussian. الملاحظة الرئيسية هنا هي أنه، ك CDF، هذه هي وظيفة غير تقليل تتنتج إلى $ 1 $ في الحد الأقصى. عن طريق زيادة $ P $ ، يمكننا أن نجعلها قريبة بشكل تعسفي من $ 1 $ . بمعنى آخر، دع $ \ Epsilon> 0 $ ، بالنسبة إلى كبيرة بما يكفي $ P $ ، $ p_e <\ epsilon $ . بدون قيود الطاقة، يمكننا إرسال جزء واحد من المعلومات مع احتمال صغير تعسفي عن الخطأ. يثبت نظام الترميز هذا معدل $ 1 $ يمكن تحقيقه.

حسنا، فكيف نحصل على معدل قابل للتحقيق من $ 1 $ to $ \ infty $ ؟ دعونا نرى ما يحدث عندما نزيد معدلنا من $ 1 $ إلى $ 2 $ ، عن طريق ترميز اثنين من البتات معلومات في وقت. يترك $$ x (b_1، b_2)=ادفع {cats} \ sqrt {p}، & \ text {if} (b_1، b_2) &= (0،0) \\ \ frac {\ sqrt {p}} {2}، & \ text {if} (b_1، b_2) &= (0،1) \\ - \ sqrt {p}، & \ text {if} (b_1، b_2 ) &= (1،0) \\ - \ frac {\ sqrt {p}} {2}، & \ text {if} (b_1، b_2) &= (1،1) \ end {cats} $ < / span>

الآن، إذا اتبعت نفس الإجراء على النحو الوارد أعلاه، فستجد أن $ p_e= p \ lefet (z> \ frac {\ sqrt {p}} {2 } \ right)= 1 - \ phi \ left (\ sqrt {\ frac {p} {4 \ sigma ^ 2}} \ right) $ . لذلك، يمكننا مرة أخرى العثور مرة أخرى (أكبر) $ p $ تتيح لنا الضغط على $ 2 $ BITS المعلومات في $ 1 $ ملفات مشفرة مع خطأ احتمالية صغير بشكل تعسفي. كما يمكنك أن تتخيل، إذا كان $ P $ غير محدود، يمكننا ببساطة الاستمرار في القيام بذلك لتشميز المزيد والمزيد من المعلومات المعلومات في بت مشفرة واحدة دون التضحية من $ p_e $ .

monital of the story: دون ربط قوة الإرسال، يمكننا اختيار مجموعة من البتات المشفرة (Codewords الطول 1) يحقق ذلك صغيرا $ PE_E $ ويمكننا القيام بذلك للحصول على مجموعة كبيرة بشكل تعسفي من أجزاء التعليمات البرمجية للضغط أكبر عدد ممكن من البتات بالمعلومات إلى 1 كما نريد. لذلك، فإن المعدلات القابلة للتحقيق غير محدودة ولأن القدرة هي الأصغر أعلى ملزمة على مجموعة معدلات قابلة للتحقيق، فإنه $ \ ispty $ .