رمز أو صيغة تقاطع اثنين من القطوع في أي دوران

Question

أنا أعمل على هندسة مشكلة تتطلب إيجاد تقاطع اثنين من مكافئ أقواس في أي التناوب.كنت قادرا على intesect خط مكافئ قوس من خلال تناوب الطائرة من محاذاة القوس مع محور ، ولكن اثنين من القطوع لا تتماشى مع محور.أنا أعمل على اشتقاق الصيغ, ولكن أود أن أعرف إذا كان هناك من الموارد المتاحة بالفعل على هذا.

Answer 1

أود أولا تعريف المعادلة مكافئ القوس في 2D دون تناوب:

  x(t) = ax² + bx + c
  y(t) = t;

يمكنك الآن تطبيق التناوب من خلال بناء دوران مصفوفة:

  s = sin(angle)
  c = cos(angle)

  matrix = | c -s |
           | s  c |

تطبيق مصفوفة و ستحصل على استدارة حدودي المعادلة:

x' (t) = x(t) * c - s*t;
y' (t) = x(t) * s + c*t;

هذا وسوف تعطيك اثنين من المعادلات (x و y) من مكافئ أقواس.

تفعل ذلك لكل من استدارة أقواس وطرح لهم.هذا يعطيك معادلة من هذا القبيل:

  xa'(t) = rotated equation of arc1 in x
  ya'(t) = rotated equation of arc1 in y.
  xb'(t) = rotated equation of arc2 in x
  yb'(t) = rotated equation of arc2 in y.
  t1 = parametric value of arc1
  t2 = parametric value of arc2

  0 = xa'(t1) - xb'(t2)
  0 = ya'(t1) - yb'(t2)

كل من هذه المعادلة هو مجرد ترتيب 2 متعدد الحدود.هذه من السهل حلها.

إيجاد نقاط التقاطع حل المعادلة المذكورة أعلاه (على سبيل المثالالعثور على جذور).

سوف تحصل على ما يصل إلى اثنين من الجذور لكل محور.أي الجذر الذي هو تكافؤ في x و y هو نقطة تقاطع بين المنحنيات.

الحصول على موقف من السهل الآن:مجرد سد جذر في حدودي المعادلة ويمكنك الحصول مباشرة على x و y.

Answer 2

للأسف الجواب العامة يتطلب الحل الرابع-النظام متعدد الحدود.إذا كنا تحويل الإحداثيات حتى واحد من اثنين من القطوع في النموذج القياسي y=x^2 ثم الثاني القطع المكافئ يرضي (ax+by)^2+cx+dy+e==0.العثور على تقاطع حل على حد سواء في وقت واحد.استبدال في y=x^2 نرى أن النتيجة الرابع-النظام متعدد الحدود:(ax+bx^2)^2+cx+dx^2+هـ==0.نيلس حل لذلك لن تعمل (خطأه:كل واحد هو النظام 2 متعدد الحدود في كل متغير على حدة ، ولكن معا انهم لا).

Answer 3

فإنه من السهل إذا كان لديك CAS في متناول اليد.

أرى الحل في الرياضيات.

اختيار واحد المكافىء و تغيير إحداثيات لذلك المعادلة يصبح y(x)=x^2 (النموذج العادي).

غيرها من القطع المكافئ سوف يكون الشكل العام:

A x^2 + B x y + CC y^2 + DD x + EE y + F == 0 

where B^2-4 A C ==0 (so it's a parabola)  

دعونا لحل رقمية الحالة:

p = {a -> 1, A -> 1, B -> 2, CC -> 1, DD -> 1, EE -> -1, F -> 1};
p1 = {ToRules@N@Reduce[
       (A x^2 + B x y + CC y^2 + DD x + EE y +F /. {y -> a x^2 } /. p) == 0, x]}

{{x -> -2.11769}, {x -> -0.641445}, {x -> 0.379567 - 0.76948 أنا}, {x -> 0.379567+ 0.76948 أنا}}

دعونا المؤامرة ذلك:

Show[{
  Plot[a x^2 /. p, {x, -10, 10}, PlotRange -> {{-10, 10}, {-5, 5}}], 
  ContourPlot[(A x^2 + B x y + CC y^2 + DD x + EE y + F /. p) == 
    0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}],
  Graphics[{
    PointSize[Large], Pink, Point[{x, x^2} /. p /. p1[[1]]],
    PointSize[Large], Pink, Point[{x, x^2} /. p /. p1[[2]]]
    }]}]

الحل العام ينطوي على حساب جذور:

4 A F + 4 A DD x + (4 A^2 + 4 a A EE) x^2 + 4 a A B x^3 + a^2 B^2 x^4 == 0  

الذي يتم القيام به بسهولة في أي CAS.