具有联合类型的lambda-terms的表征

Question

许多教科书涵盖了Lambda-Calculus中的交叉点类型。交叉点的打字规则可以定义如下（在简单键入的lambda-calculus的基础上）：

$ dfrac { gamma vdash m：t_1 quad gamma vdash m：t_2} { gamma vdash m：t_1 wedge t_2}（ wedge i） vdash m： top}（ top i）$$

相交类型在归一化方面具有有趣的属性：

• 可以在不使用$ top i $规则的情况下键入lambda-term，如果它非常正常化。
• lambda-term允许不包含$ top $的类型，其具有正常表格。

如果我们添加工会，那该怎么办？

$ dfrac { gamma vdash m：t_1} { gamma vdash m：t_1 vee t_2}（ vee i_1） qquad qquad qquad qquad qquad dfrac { gamma gamma vdash m： vdash m：t_2} M：T_1 VEE T_2}（ VEE I_2）$$

具有简单类型，亚型和工会的Lambda-Calculus是否具有任何有趣的类似属性？如何将术语与联合键入键入？

Answer 1

在第一个系统中，您所说的子类型是这两个规则：

$$ dfrac {γ，x：t_1 vdash m：s} {γ，x：t_1 t_2 t_2 vdash m：s}（∧e_1） quad quad dfrac {γ，x：x：t_2 vdash m：s} {γ，x：t_1∧t_2 vdash m：s}（∧e_2）$$

它们对应于$ $ $的淘汰规则；没有他们，连接$∧$或多或少是毫无用处的。

在第二个系统中（带有Connectives $∨$和$→$，我们也可以添加$⊥$），上述子类型规则无关紧要，我认为您想到的随附的规则如下：

$$ dfrac {γ，x：t_1 vdash m：s quadγ，x：t_2 vdash m：s} {γ，x：t_1 t_2 t_2 t_2 vdash m：s}（s}（s}（∨e） quad quad dfrac dfrac dfrac {} {γ，x：{⊥} vdash m：s}（{⊥} e）$$

对于它的价值，此系统允许键入$（λx。i）ω：a→a $（使用$ {⊥} e $ rule），不能仅使用具有正常形式的简单类型键入，但是不是很正常。

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随机想法：（也许这值得在TCS上询问）

这使我猜想相关属性是类似的：

• λ-Term $ m $承认一种不包含$ liff $ mn $的类型的类型，所有$ n $的正常表格具有正常表格。 （$δ$都失败了两个测试，但上述λ任期通过了）
• 可以在不使用$ {⊥} e $规则的情况下键入λ-Term $ m $ Iff $ mn $，对于所有强烈正常化的$ n $都非常正常化。

锻炼： 证明我是错的。

这似乎是一个退化的情况，也许我们应该考虑添加 这家伙 进入图片。据我所记得的，它将允许获得$a∨（a→{⊥}）$？

Answer 2

我只想解释为什么相交类型非常适合表征标准化类（强，头部或弱），而其他类型的系统则不能。 （简单地使用或系统f）。

关键区别在于您必须说：“如果我可以输入$ m_2 $和$ m_1→m_2 $，那么我可以输入$ m_1 $”。在非交流类型中通常不正确，因为可以重复一个术语：

$$（ lambda x.mxx）n→mnn $$

然后键入$ MNN $表示您可以键入$ n $的两个出现，但不能以相同类型的类型键入，例如$$ m：t_1→t_2→t_2→t_3 qquad n：t_1 qquad n：qquad n：t_2 $$带有相交类型的T_2 $$您可以将其转换为：$$ M：T_1 Wedge T_2→T_1 wedge T_2→T_3 qquad n：T_1 Wedge T_2 $$，然后关键步骤现在非常简单：$$（ lambda X.MXX） ：T_1 Wedge T_2→T_3 qquad n：t_1 wedge t_2 $$ so $（ lambda x.mxx）n $ can通过与交叉点类型键入。

现在关于联合类型：假设您可以键入$（ lambda x.xx）（ lambda yy）$与某些联合类型，然后您还可以键入$ lambda x.xx $，然后获得某些类型的$ s，t_1 ，点$ $ $$ x：t_1 vee t_2 vee dots vee t_nt_n⊢xx：s $$，但您仍然必须证明每一个$ i $，$ x：t_i⊢xx：s $似乎是不可能的，这似乎是不可能的甚至是$ s $也是工会类型。

这就是为什么我认为联合类型的归一化不容易表征的原因。