通过随机分区进行选择的急剧浓度？

Question

通常的简单算法，用于在数组中找到中间元素$ a $ n $数字是：

• 示例$ n^{3/4} $元素从$ a $替换为$ b $
• 排序$ b $，找到等级$ | b | pm sqrt {n} $ elements $ l $和$ r $ $ b $
• 检查$ l $和$ r $在$ a $的中位数的相对方面，最多有$ c sqrt {n} $元素在$ a $ a $之间，$ l $和$ r $常量$ c> 0 $。如果没有发生失败。
• 否则，通过对$ l $和$ r $之间的$ a $的元素进行排序来找到中位数

不难看到这在线性时间内运行，并且它的可能性很高。 （所有不良事件都与二项式的期望相距甚远。）

同一问题的替代算法，这是在这里描述的快速分类的学生更自然的教学： 随机选择

也很容易看到，这是有线性的预期运行时间：说“圆形”是一系列递归呼叫，当一个人给出1/4-3/4拆分时结束，然后观察到预期的长度一轮最多是2。（在第一轮的第一次绘制中，进行良好拆分的概率为1/2，然后在实际增加之后，因为描述了算法，因此圆形长度由几何随机变量主导。）

所以现在问题：

是否可以证明随机选择在线性时间内以高概率运行？

我们有$ o（ log n）$ rounds，每个回合的长度至少具有$ k $，最多$ 2^{ - k+1} $，因此联合界限给运行时间为$ O（n log log n）$带有概率$ 1-1/o（ log n）$。

这有点不满意，但实际上是事实吗？

Answer 1

该算法在线性时间内以高概率运行并不正确。仅考虑第一轮，运行时间至少为$ theta（n）$ times a $ g（1/2）$随机变量。令$ p（n） longrightArrow 0 $为允许的故障概率。由于$ pr [g（1/2） geq log_2 p（n）^{ - 1}] = p（n）$，运行时间至少为$ omega（n log_2 p（n）^ {-1}）= omega（n）$。

（涉及一些作弊，因为第一轮的长度实际上不是$ g（1/2）$。更仔细的分析可能或可能无法验证此答案。）

编辑：Grübel和Rosler证明了比较的预期数量除以$ n $（从某种意义上说）倾向于一定的限制分布，这是无限的。参见格鲁贝尔的论文“ Hoare的选择算法：马尔可夫链方法”，其中引用了他们的原始论文。