算法追逐移动的目标

Question

假设我们有一个Black-Box $ F $，我们可以查询并重置。当我们重置$ f $时，状态$ f_s $ of $ f $的设置为从set $$ {0，1，...，...，n -1 } $ n的元素均匀选择的元素。 $是固定的，并以给定的$ f $而闻名。要查询$ f $，提供$ x $（猜测）的元素 {0，1，...，...，n -1 } $$，返回的值为$（f_s -x） mod n $。此外，$ f $的状态$ f_s $ of $ f $设置为一个值$ f_s'= f_s pm k $，其中$ k $从$ {0、1、2，...，... lfloor n/2 rfloor-（（（f_s -x） mod n）} $$

通过对每个查询进行统一的随机猜测，人们希望在获得$ f_s = x $之前必须做出$ n $猜测，并带有差异$ n^2 -n $（陈述没有证明）。

可以设计算法做得更好（即，猜测更少，猜测的差异较小）？它可以做得更好（即，最佳算法是什么，其性能是什么）？

解决此问题的有效解决方案可能会对在黑暗房间中的兔子拍摄（仅限于圆形轨道上的跳跃）具有重要的省略成本含义。

Answer 1

首先，我会假设

此外，$ f $的状态$ f_s $ of $ f $设置为一个值$ f_s'= f_s pm k $，其中$ k $从$ {0、1、2，...，... lfloor n/2 rfloor-（（（f_s -x） mod n）} $$

你实际上是说

此外，状态$ f_s $ of $ f $设置为值$ f_s'= f_s + k mod n $，其中$ k $从$ left left { - left |均匀地选择均匀选择。 left lfloor frac {n} {2} right rfloor - （（（f_s -x） - x） mod n） right |， ldots，-1，0，1，2， ldots， ldots， left | left | left lfloor frac {n} {2} right rfloor-（（f_s -x） mod n） right | right | right } $

否则，尚不完全清楚的是，$ f_s in {0，...，n-1 } $始终保持以及$ f_s pm k $的表现。

使用此问题，问题基本上归结为“尽可能丢失”。观察到，我们射击兔子的距离越近，他制造的啤酒越大。在极端情况下，我们有$ f_s -x = pm 1 mod n $。这导致$ - （ lfloor n/2 rfloor pm 1）$和$（ lfloor n/2 rfloor pm 1）$在$ - （ lfloor n/2 rfloor pm 1）$之间产生均匀的跳动，这基本上完全将兔子的位置随机。另一方面，如果我们尽可能地错过了$ f_s -x mod n = lfloor n/2 rfloor $，兔子实际上根本不会移动（！） 和 黑匣子实际上对我们更新了这一事实。因此，我们可以转身射击兔子。

我们剩下的是找到每次镜头越来越多的过程。我提出了一个简单的“二进制搜索”。 （我将方便地省略圆形。）它大致进行如下：

1. 重置和拍摄任意位置，直到从黑盒中获得答案$（f_s -x mod n） in { frac {1} {1} {4} {4} n，...， frac {3} {4} {4} {4} n }。$这在预期中采取了恒定的步骤。
2. 现在，我们知道兔子的过去位置$ f_s $，并且它的移动不超过$ frac {1} {4} {4} n $步骤，沿任一方向。这基本上将我们在下一个迭代中的搜索空间减半，因为兔子必须处于$ f_s' in in {（f_s- frac {1} {4} {4} n） mod n，...，f_s，f_s，，，f_s，... ...，（f_s + frac {1} {4} n） mod n } $
3. recurse：在位置上拍摄$ f_s -N/2 mod n $。使用概率$ 1/2 $，位置$ f_s'$ The Rabbit在步骤1＆2中跳到了范围$ {f_s - frac {1} {1} {8} {8} n，...，f_s，f_s，...，... frac {1} {8} n } $。在这种情况下，我们再次将搜索空间减半。有了概率$ 1/2 $，兔子没有跳入该范围，但是由于我们知道$ f_s' -x mod n = f_s' -f_s + n/2 n/2 mod n in in in { frac {1} {2} n- frac {1} {4} n，...， frac {1} {2} {2} n + frac {1} {4} n } $，我们有与步骤相同的假设（2）因此一无所获。

每个步骤都需要$ 2 = Mathcal {O}（1）预期的时间将成功和减半，从而产生$ Mathcal {O}（ log n）$预期步骤数的总体。