计算大数的组合

Question

我正在尝试计算帕斯卡三角形第 100 行中的特定条目是否可被 3 整除。我使用公式 nCr 计算此值，其中 n=100，r 是第 100 行中的不同条目。我使用下面的代码来计算组合

 public static double Combination(int n, int m, double comb)
    {
        for (int r = -1; ++r < m; )
            comb = comb * (n - r) / (r + 1);
        return comb;
    }

但对于 100C16 这样的值，我得到的数字很大，其中包含小数和 e。我在网上搜索发现实际上有12个数字不能被3整除，但是我的程序在第100行给了我63个不能被3整除的数字，这是错误的。谁能告诉我我是什么做错事。

Answer 1

我假设“NCR”是N-Splect-R的速写，或从n，右边选择r？ 要查看NCR是否已被三个划分，您无需计算结果，您只需弄清楚它是否已被拆除为3.您必须看到多少次n！是可被3的，然后是多少次！已被3个分开，多少次（n-r）！是。

真的很简单 - 1！不可分割的3,2！不是，3！是可分开的一次。 4！和5！也可被占用一次。 6！是可分的两次，所以7！和8！ 9！是可分开的4次，等等。一直到N到N（或在不计算出逐步计算的情况下，这并不是那么难），并检查。

澄清 - 我的数学研究在希伯来语中，所以“多次n！可被3送3”，可能不是正确的英语方式。通过“n！可被3米即将其分开”，我的意思是生成的，其中k根本不可分割。

编辑：一个例子。让我们看看10c4是否已被3划分为3.

让我们做一个小桌子说多少次k！已被3分开（K！列只是用于演示，在计算DIVISIBLITY列时实际上不需要它）：

  k      k!     Divisibility
  1       1     0
  2       2     0
  3       6     1
  4      24     1
  5     120     1
  6     720     2
  7    5040     2
  8   40320     2
  9  362880     4
 10 3628800     4

.

10c4是10！ /（6！* 4！）。

10！是可分的4次（意思是10！= 3 ^ 4 *不可分割的3）， 6！是可分开的2次 4！是可分割的1次

所以10！ （6！* 4！）可被3划破3.事实上3 * 70。

Answer 2

首先，你使用的是双打，我认为这不是一个好主意。浮点数过一段时间就会出错。

如果数量不会增长那么大，可以使用以下方法：

public static long nCr (int m, int n) {
    long tmp = 1;
    int j = 2;
    int k = m-n;
    for(int i = m; i > k; i--) {
        tmp *= i;
        while(j <= n && tmp%j == 0) {
            tmp /= j++;
        }
    }
    while(j <= n) {
        tmp /= j++;
    }
    return tmp;
}

然而在这种情况下，这仍然不够。在这种情况下，人们可以使用 BigInteger 结构体 System.Numerics

public static BigInteger nCr (int m, int n) {
        BigInteger tmp = 1;
        int j = 2;
        int k = m-n;
        for(int i = m; i > k; i--) {
            tmp *= i;
            while(j <= n && tmp%j == 0) {
                tmp /= j++;
            }
        }
        while(j <= n) {
            tmp /= j++;
        }
        return tmp;
    }

您可能会说，使用 BigInteger 不需要交错除法和乘法。但是，如果 BigInteger 相当大，则对数据的操作将花费一些时间（因为该数字表示为多个字节的数组）。通过保持较小的值可以避免较长的计算时间。