如何最好地总结了很多浮点的数字?
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23-08-2019 - |
题
想象一下,你有一个大型阵列的浮点数的所有种类的大小。什么是最正确的方法来计算的总和,用最少的错误?例如,当列看起来是这样的:
[1.0, 1e-10, 1e-10, ... 1e-10.0]
和你加起来,从左到右有一个简单的循环,就像
sum = 0
numbers.each do |val|
sum += val
end
只要您添加了更小的数字有可能下降的精度阈值,因此错误得到越来越大。就我所知道的最好办法是进行排列,并开始增加了人数,从最低到最高的,但我想知道如果有一个更好的方法(更快、更精确的)?
编辑:谢谢你的回答,我现在有一个代码的工作完美地总结了双值。这是一个直口从Python后的赢得的答案。该方案通过我的所有单元的测试。(A较长,但优化版本,这是可以在这里 Summarizer.java)
/**
* Adds up numbers in an array with perfect precision, and in O(n).
*
* @see http://code.activestate.com/recipes/393090/
*/
public class Summarizer {
/**
* Perfectly sums up numbers, without rounding errors (if at all possible).
*
* @param values
* The values to sum up.
* @return The sum.
*/
public static double msum(double... values) {
List<Double> partials = new ArrayList<Double>();
for (double x : values) {
int i = 0;
for (double y : partials) {
if (Math.abs(x) < Math.abs(y)) {
double tmp = x;
x = y;
y = tmp;
}
double hi = x + y;
double lo = y - (hi - x);
if (lo != 0.0) {
partials.set(i, lo);
++i;
}
x = hi;
}
if (i < partials.size()) {
partials.set(i, x);
partials.subList(i + 1, partials.size()).clear();
} else {
partials.add(x);
}
}
return sum(partials);
}
/**
* Sums up the rest of the partial numbers which cannot be summed up without
* loss of precision.
*/
public static double sum(Collection<Double> values) {
double s = 0.0;
for (Double d : values) {
s += d;
}
return s;
}
}
解决方案
对于"更加精确的": 这个配方的蟒蛇的食谱 已经求和算法,它保持全面精确度(通过跟踪的小计).代码是在Python但即使如果你不知道蟒蛇很明显的,足以适应任何其他语言。
所有的细节 这纸.
其他提示
参见: Kahan的求和算法它不需要ö (n)的存储,但只有O(1)。
算法有很多种,看你想要什么。通常他们需要跟踪部分金额。如果你只保留 x[k+1] - x[k] 的和,你就得到了 Kahan 算法。如果您跟踪所有部分和(因此产生 O(n^2) 算法),您会得到 @dF 的答案。
请注意,除了您的问题之外,还要对 不同的标志 是很有问题的。
现在,有比跟踪所有部分和更简单的方法:
- 求和之前对数字进行排序,将所有负数和正数独立相加。如果你已经对数字进行了排序,那很好,否则你就有 O(n log n) 算法。通过增加幅度求和。
- 按对求和,然后对对求和,等等。
个人经验表明,您通常不需要比卡汉的方法更奇特的东西。
好吧,如果你不想排序,那么你可以简单地总保持有型的比单个数值精度高的变量(例如使用双保持浮动的总和,或者“四”保持双打的总和)。这将对性能损失,但也可能是小于排序的成本。
如果您的应用程序依赖于数字处理搜索的高精度计算库,但我不知道是否有这样的Python库。当然,一切都取决于你想要多少精度数字 - 如果你小心使用它,你可以实现与标准的IEEE浮点良好的效果。