通过抽样选择特定集合的概率而不从分类分布替换

Question

假设我在项目 $ 1，\ dots，n $ 上有一个分类分发，分配概率 $ p_i $ < / span> item $ i $ 。我现在反复使用此分发，直到我获得 $ k $ 唯一对象。我想计算所获得的对象集的概率正好 $ \ {1，\ dots，k \} $ 。

是否有一种有效的方法来计算这种概率，给定 $ p_1，\ dots，p_n $ 和 $ k $ ？

我可以看到概率具有

$$ p=sum_ \ sigma \ prod_ {i= 1} ^ k {p _ {\ sigma（i）} \ over（1-p _ {\ sigma（1 ）}）\ cdots（1-p _ {\ sigma（1）} - \ dots-p _ {\ sigma（i-1）}）}，$$ 除了总和的所有筛选中 $ \ sigma \在s_k $ 上的 $ \ {1，\ dots，k \}中$ 。 （这里 $ \ sigma $ 表示所选项目 $ 1，\ dots，k $ 的顺序。）但是，这个概率的公式涉及<跨度类=“math-container”> $ k！$ 术语，因此以这种方式计算概率将在 $ k $ 。是否有更有效的方式来计算它？

当然，没有普遍丧失我们可以假设 $ n= k + 1 $ 。

Answer 1

对于每个 $ \ sigma \ subseteq [k + 1] $ ，您可以计算概率 $ q（\sigma）$ 第一个 $ | \ sigma | $ 元素显示为 $ \ sigma $ 使用以下复发： $ q（\ imptyset）= 1 $ 以及当 $ \ sigma \ neq \ imptyset $， $$ q（\ sigma）=sum _ {\ sigma \ in \ sigma} q（\ sigma- \ sigma）\ frac {p_ \ sigma} {p_ \ sigma + \ sum _ {\ tau \ notin \ sigma} p_ \ tau}。 $$ 您对 $ q（[k]）$ 。如果您在串联中编制了分母中的总和，则总计算时间为 $ o（k2 ^ k）$ （忽略算术）。也许这可以改进到 $ o（2 ^ k）$ 。