鉴于字符串列表，查找每对$（x，y）$ why $ x $是$ y $的子序列。可以做得好比$ O（n ^ 2）$做好？

Question

考虑以下算法问题：给定字符串 $ l= [s_1，s_2，\ dots，s_n] $ ，我们想知道所有对<跨越类=“math-container”> $（x，y）$ 其中 $ x $ 是 $ y $ 。我们可以假设所有字符串在最大值 $ m $ ，其中 $ m << n $ 和全部通过有限的字母 $ \ sigma $ ，其中 $ | \ sigma | << $ 。我们也可能假设对 $（x，y）$ 其中 $ x $ 是一个 $ y $ 的子序列远小于 $ n $ 。

琐碎的算法是：

1. foreach x in L:
2.   foreach y in L:
3.      if x is subsequence of y:
4.         OUTPUT x,y

. 但是，这具有复杂性 $ o（n ^ 2 \ cdot m）$ - 我很想知道是否有更快的算法（给出的速度更快对 $（x，y）$ 远小于 $ n $ ，因此复杂性的算法根据输出对的数量）。

请注意，此问题是关注这个问题，这大概是同一个问题，但是对于子字符串（不是随后）。在那里，AHO-corasick算法完美解决了我的问题 - 也许是这样的，但是对于子序列来说是这样的，而是为了术语？

Answer 1

否，除非强大的指数时间假设（SETH）失败，否则不可能做得更好。如果我们可以在 $ O（n ^ 2）$ 我们将立即获得更快的算法，以解决NP完全解决问题的最佳算法。即使对于 $ m $ 略高于 $ \ log（n）$ 和案例，也是如此我们想要决定这种对 $（x，y）$ 存在。

参见，例如，这些讲义笔记在第3节“紧正交向量下限“。证据类似于这些讲义中的定理2的证明。

首先，我们考虑给定的两组字符串 $ x，y $ ，查找是否在 $ x $ 是 $ y $ 中的字符串的子序列。

给定SAT公式，将其 $ n $ 变量分成两个相等的 $ n / 2 $ < / span>变量。在 $ \ sigma $ 中，我们采取与每个子句相对应的字符。在 $ x $ 中，我们将每个可能的分配添加到变量的前半部分的字符串，其中一个字符对应于每个子句不满意由那些变量。同时，在 $ y $ 中，我们将每个分配的字符串添加到变量的后半部分，每个子句都有一个满足这些变量的字符。显然，如果 $ x $ 中的某些字符串，则该公式是满意的。

如果此问题可以基本上可以求速度快，而不是 $ o（n ^ 2）$ ，那么这为比 $ 2 ^ n $ 。假设问题可以在 $ o（n ^ {1.99}）中解决问题，然后在 $中可以解决满足性（2 ^ {n / 2}）^ {1.99}= o（2 ^ {0.996n}）$ 与seth相矛盾。

在你的问题中，只有一组字符串，所有这些都可以是彼此的子序列。然而，这不是问题，因为我们可以简单地修改我们的实例中的字符串，使得没有字符串 $ y $ 是任何其他字符串的子序列（例如通过填充 $ y $ 的所有字符串都具有相同的长度），并类似地填充 $ x $ 中的每个字符串与 $ x $ （但在 $ y $ 中的字符串大致短的相同长度。

这也可能用恒定大小（可能偶数二进制）字母表来完成，但这需要更聪明的编码。