求解渐近复杂性的多变量方程

Question

我有一个函数 $ f（m，n）$ 时间复杂度 $ t（m，n）$以复制关系为特征

$$ \ begin {aligh} t（m，\ n）＆= 2t \ bigl（\ frac {m} {2}，\ frac {n} {2} \ bigr）+ c_0 \ log n + c_1。\\ t（m，\ 1）＆= t \ bigl（\ frac {m} {2}，1 \ bigr）+ c_1 \\ t（0，\ n）＆= 1 \\ t（m，\ 0）＆= 1 \结束{align} $$

我可以看到for for for for for for span class=“math-container”> $ m $ ，这是 $ o（n）$ ，对于固定 $ n $ ，这是 $ o（m）$ 。但我没有看到我如何获得表达的表达，这些表达式在变量 $ m $ 和 $ n$ 。

如何解决这个问题，以找到 $ m $ 和 $ n $ ？

Answer 1

为简单起见， $ m= 2 ^ $ ， $ n= 2 ^ b $ ， $ c_0= 1 $ ， $ c_1= 0 $ ，并且基本情况是 $ t（1，\ cdot）= t（\ cdot，1）= 0 $ 。然后 $$ t（2 ^ a，2 ^ b）= 2t（2 ^ {a-1}，2 ^ {b-1}）+ b= 4t（2 ^ {a-2}，2 ^ {b-2}） + B + 2（B-1）=Cdots $$ Summardands的数量是 $ c=min（a，b）$ ，并使用我们获得的这个表示法 \ begin {align} t（2 ^ a，2 ^ b）＆= b + 2（b-1）+ 4（b-2）+ cdots + 2 ^ {c-1}（b-c + 1）\\＆= （1 + 2 + \ cdots + 2 ^ {c-1}）b - 2 ^ 1（1） - 2 ^ 2（2） - \ cdots - 2 ^ {c-1}（c-1）\\＆= （2 ^ C-1）B - 2 ^ C C + 2（2 ^ C-1）\\＆= 2 ^ C（B + 2-C） - （B + 2）。 \结束{对齐} 换句话说， $$ t（2 ^ a，2 ^ b）= \ begin {案例} 2 ^ {b + 1} - （b + 2）＆\ text {if} a \ geq b，\\ （b + 2）（2 ^ a-1） - a2 ^ a＆\ text {if} b \ geq a。 \结束{案例} $$ 当<跨越类=“math-container”> $ m \ geq n $ 时，这会给 $ t（m，n）=theta（n）$ ，当<跨度类=“math-container”> $ n> m $ 时，我们得到 $ t（m，n）=theta（m \日志（n / m）+ m）$ 。