如何证明$ 3x ^ 3 + 2x + 1 $ IS $ \ OMEGA（x \ cdot \ log x）$

Question

我试图回答这个问题： $ 3x ^ 3 + 2x + 1 $ 是 $ \ oomega（x \ cdot \ log x）$

我的问题是如何解决这个问题。

这是我迄今为止的尝试：

我应用了定义 $ 3x ^ 3 + 2x + 1> c \ cdot x \ log x $ 对于所有c，给定 $ n \ geq k $ ，对于某些k

我试图应用应用程序的平等的技术： $ n

因为n小于最高订单术语，我们只需移动所有术语n ??

给出 $ 6x

然后你可以选择： $ k <2 ^ \ frac {6} {c} $

Answer 1

我推荐的是什么首先要注意，如果你正在寻找函数的复杂性 $ 3x ^ 2 + 2x + 1 $ ，真正所有的关心是函数 $ x ^ 2 $ 。 因为如果你将证明 $ x ^ 2=oomega（xlogx）$ 然后添加 $ 2x + 1 $ 不会破坏证明，因为 $ x ^ 2 $ 是多项式的大于 $ 2x + 1 $ ，所以我们只能查看 $ x ^ 2 $ 。< / p>

（我将使用 $ n $ 而不是 $ x $ ，因为这是我的熟悉但对于 $ x $ ）完全相同， 所以现在我们想要证明的是 $$ n ^ 2=oomga（nlogn）$$

您只提供在等式中的侧面需要触发方程式，我们需要找到一个正面 $ c $ ，因此对于任何 $ n> n> n_0 $ 或 $ n> k $ ： $$ f（n）\ ge c \ cdot g（n）$$ 什么时候 $ f（n）= n ^ 2 $ ， $ g（n）= nlogn $

这将让我们： $ n ^ 2 \ ge cnlogn $

我们可以划分 $ n $ ： $$ n \ ge clogn $$

现在这是一个棘手的一点。 但是“已知”多项式运行时间比对数慢。

基本上是什么意思是，如果可能的话，您希望达到对数复杂度运行时间，因为它比你更快的执行。

通常这是第一个是最快的运行时间的顺序：

$$ 1.Constant $$ $$ 2.logarithmic $$ $$ 3.linear $$ $$ 4.linearithmic $$ $$ 5.polynomial $$ $$ 6.exponential $$

（您可以在此处阅读更多信息： https://adrianmejia.com/mest-popular-algorithms-time-pomplexity-every-programmer-should-know-free-online-tutorial-course/ ）

另一种方式看它是如果你会发现两个函数的划分的限制，让我们说我们会选择： $$ {f（n）\ over g（n）} $$

如果 $$ \ lim_ {n \ to \ infty} {f（n）\ over g（n）} \ lightarrow \ infty $$ 这意味着 $ f（n）$ 比 $ g（n）$ < / p>

如果 $$ \ lim_ {n \ to \ infty} {f（n）\ over g（n）} \ lightarrow 0 $$ 这意味着 $ f（n）$ 比 $ g（n）$ < / p>

最后一个选项（此方法的至少至少）是： $$ \ lim_ {n \ to \ infty} {f（n）\ over g（n）} \ lightarrow c $$ 当 $ c \ gt 0 $ 时，这意味着两个功能都具有渐近相同的复杂性。

返回我们的功能，我们可以看到： $$ \ lim_ {n \ to \ infty} {n \ Over log（n）} $$

我们将使用横向规则并获得： $$ \ lim_ {n \ to \ infty} {1 \超过1 / n} \ lightarrow \ infty $$

我们现在可以看到 $ f（n）= n $ 从 $ g（n）= log（n）$ 因此： $$ n=oomega（log（n））$$

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我真的希望我尽可能清晰简单地解释，这只是英语不是我的母语语言，所以我提前安排了语法等的错误。

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更新：我注意到你已经改变了原来的函数，现在它是 $ 3x ^ 3 + 2x + 1 $ ，但证明会是相同的，只需使用 $ n ^ 3 $ ，而不是在使用斜倚时仍然得到相同的结果。 这是因为，如果我们刚刚证明 $ n ^ 2 $ 是大于 $ log（n）$ < / span>比当然是 $ n ^ 3 $ ，它比 $ n ^ 2 $ 也比 $ log（n）更大。$

Answer 2

最简单的方法是检查 $ \ lim_ {x \ to \ idty} \ frac {3x ^ 3 + 2x +1} {x \ log x}= +infty $ ，这是 $ 3x ^ 3 + 2x +1 \ in \ oomega（x \ log x）$

。

$$ \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {3x ^ 3 + 2x +1} {x \ log x}= \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {3x ^ 3} {x \ log x}= \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {3x ^ 2} {\ log x}= \ lim_ {x \ to \ infty} 6x ^ 2 = +秒。 $$