使用算术词典表达函数

Question

我在“逻辑到cs”等级中我拍摄了 - 一个定理：“每个递归（可计算）函数 $ f $ 可以使用算术词典{ $ c_0，c_1，f _ +（，），f_x（，），r_ \ le（，）$ }与结构{ $ d=mathbb {n}，c_0= 0，c_1= 1，f _ +（a，b）= a + b，f_x（a，b）= ab，r_ \ le（a，b）= a \ le b $ }“

但我们没有证明这个定理，因为学生的一部分没有拿走“计算模型”课程（我确实采取了它）

我在哪里可以找到这个定理的证据？提前谢谢！

Answer 1

我不确定这正是您正在寻找的，但您可能会在S. Barry Cooper的可计算性理论的定理3.2.1中找到您想要的。

所有递归功能都在PA。

对于任何递归函数 $ f $ ，存在二进制谓词 $ f $ 算术的语言，使其对于任何自然数字 $ x $ 和 $ y $ 我们拥有 $$ f（x）= y〜\ lightarrow〜\ vdash_ {pa} f（x，y）$$ 和 $$ f（x）\ neq y〜\ lightarrow〜\ vdash_ {pa} \ lnot f（x，y）$$ 其中 $ \ vdash_ {pa} $ 表示'pa证明'。

本定理是Gödel着名的不完整定理的核心，因此您可能还想看看CH。在讨论的情况下，所提到的书中的8个，并且这种“可爱性”的概念延伸到“半代表性”，以包括C.E.套装。