有序DAG的在线最短路径

Question

假设我有一个边缘加权连接的rooted dag $ g=（v，e，r \ in v，w \ in e \ to \ mathbb {z}中的m $ 存在一系列非空集（称为“级别”） $ l_0={r \}，l_1 \ subset v，\ ldots，l_n \ subset v $ 使得 $ l_0 \ cup \ ldots \ cup l_n= v $ 以及 $中节点的传出边缘l_i $ 只连接到 $ l_ {i + 1} $ 。

是否有一个在线算法，可以在此表达中添加更多级别的最短路径？换句话说，它可以回答查询“从根到某些节点的最小权重路径 $ n $ 在图形的底部？”，甚至随着更多级别的添加。

我找不到解决这个问题的任何研究。

Answer 1

如果我理解你的问题，那么你可能没有找到任何研究，因为问题很容易解决。

除非我错过了一些东西，您希望维护一个边缘加权“分层”DAG $ G=（L_0，\ Cup \ Dots \ Cup L_K，E）$ （如您的问题所定义）并支持以下两个操作：

• init（）：仅使用一层 $ l_0 $ ，单个顶点 $ r \在l_0 $ ，没有边缘。

• 查询（）：return $ \ min_ {v \ in l_k} d（r，v）$ 。

• add_layer（ $ l_ {k + 1}，e'$ ）：您被给出了一个新的SET $ l_ {k + 1} $ 顶点和一组加权边缘 $ e'\ subseteq（l_k \ times l_ {k + 1}）$ 。 $ g $ 的顶点集被更新为 $ l_0 \ cup \ ldots \ cup l_k \ cup l_ {k + 1 $ 和 $ g $ 的边缘集被更新为 $ e \ cup e'$ 。

您可以通过存储以上：1）对于每个顶点 $ v \ in l_k $ ，距离 $ d [v] $ 表单 $ s $ 到 $ v $ $ g $ ，和2）最小距离 $ d ^ * $ from $ s $ 到最后一个级别的顶点。

init操作量为设置 $ d [r]= 0 $ 。要执行查询操作，只需返回 $ d ^ * $ 。

要实现add_layer（ $ l_ {k + 1}，e'$ ），您按如下方式进行以下操作：

• set $ d ^ * $ to $ + \ idty $ ，
• 对于每个顶点 $ v \ in l_ {k + 1} $ ：
  • set $ d [v]=idty $
  • 对于每个边缘 $（u，v）$ 在 $ e'$ ：
    • 更新 $ d [v] $ 到 $ \ min \ {d [v]，d [u] + w（v）\} $
  • 更新 $ d ^ * $ to $ \ min \ {d ^ *，d [v] \} $

注意，这需要时间与 $ | l_ {k + 1} | + | e'| $ ，因此是渐近最佳的。另请注意，此解决方案不需要存储 $ g $ 。

Answer 2

假设您具有从根到级别的最短路径的长度 $ l_i $ ，并调用此 $ s \在l_i \ to \ mathbb {z} $ 。现在假设来自 $ l_i $ 到 $ l_ {i + 1} $ 称为 $ e_i $ 。然后，节点的最短路径的长度 $ n $ $ l_ {i + 1} $ 由 $ \ min \ {w（x，n）+ s（x）\ mid（x，n）\中的。保持实际路径是一个简单的扩展。