MAX SAT基本随机算法中随机化/裂缝化的目的

Question

在由威廉姆森和shmoys的近似算法设计，他们描述了一个MAX SAT的基本随机算法以及如何嘲弄它。该算法仅用概率1/2分配概率1/2和0（假）的每个变量1（true）。换句话说，从所有解决方案的空间随机均匀地样本。他们表明这是一个1/2近似。

然后在第5.2节中，他们描述了如何使用条件期望的方法嘲弄它。 （我不会在这里描述这个过程，因为它不是很复杂，广为人知我假设。）

我的问题是，为什么不这样打扰嘲笑？甚至，为什么在第一个地方随机打扰算法？

在我看来，同样好的算法是单行，它确定所有变量到1.给出一些MAX SAT实例作为输入，在我看来，您还会期望这是（即，“期望它会“）满足一半的条款。对我来说，随机算法的分析似乎可以说任何固定的猜测都是“好”。 （而不是显示我们的随机算法本质上很好。）因此为什么首先通过随机化和嘲弄的过程？

提前感谢！

Answer 1

差异是随机化算法保证任何输入上的预期1/2近似。相比之下，对敌人来说是容易构建输入（即MAX-SAT的一个实例），其中确定性“将所有变量设置为真实”算法满足零个子。

请记住，随机算法的示例空间遍布一组辅助随机位。在输入中没有概率分布。随机算法设计的典型目标是在期望中处理每个输入。 （通过假定的输入分布分析算法行为称为平均案例分析而不是。）

什么是辅助随机位？

假设我们有一个随机图定型机 $ m_1 $ ，它们在长度 $ n $ 对于不超过 $ t（n）$ 时间，在此期间它不超过 $ r（n）\ le T（n）$ 随机决策。我们可以将本机转换为确定性图灵机 $ m_2 $ ，其中有两个输入磁带：包含输入字符串 $ x $ 长度 $ n $ ，以及包含字符串 $ r $ 长度 $ r（n）$ 。字符串 $ r $ 是我们的辅助随机比特;它决定了图灵机所做的“随机”决定。当我们说随机图测机器运行 $ m_1（x）$ with概率 $ p $ 时，这相当于说集合 $$ a（x）=left \ {r \ | \ r \ in \ {0，1 \} ^ {r（| x |）}，m_2（x，r ）\文本{接受} \右\} $$ $ r $ strings，使 $ m_2（x，r）$ 接受构成一个分数 $ p= | a（x）| / 2 ^ {| x |} $ 所有 $ r $ 字符串。

如果您已经看到了非季度图灵机器的类似结构，您可能会认出此处正在进行的内容。我们可以将一个NP机器视为一个非叛徒机器，该机器分支成指数是许多自身副本。但我们也可以将其视为一个确定性的验证者机器，该机器需要输入和“证明”字符串，其中输入字符串在语言中的验收标准如果任何校样字符串使机器接受。

通常更容易考虑确定性验证机机器的触控概念以及哪些证明字符串使机器接受给定的输入，而不是考虑非常抽象的想法，如指数分支机和可能的世界。它使得更容易定义复杂性等级，例如CO-NP，PP，BPP，⊕P等，所有这些都是基本上的“NP具有不同的接受规则”。例如：

• np是 $ l $ ，其中存在多项式验证者机 $ m_2 $ < / span>使得 $ x \ in l $ 如果且仅当存在 $ r $ 字符串这样 $ m_2（x，r）$ 接受（其中 $ r $ 字符串是由多项式 $ r（| x |）$ ）。
• bpp是一组语言 $ l $ ，其中存在多项式验证者机 $ m_2（x ，r）$ 使 $ x \ in l $ 中暗示 $ m_2（x，r）$ 接受至少⅔ $ r $ 字符串和 $ x \ notin l $ 意味着其中 $ m_2（x，r）$ 最多是 $ r $ 字符串（其中 $ r $ 字符串由多项式 $ r（| x |）$ ）界定。

注意：我们是否要求 $ r $ 字符串无关紧要，以具有长度完全 $ r（n）$ 或最多 $ r（n）$ ，因为只允许更短的字符串通过恒定因素增加可能的串数。