计算自动机以$ l（a）/ l（b）$给出$ a，b $

Question

我正试图弄清楚无限的语言改变答案。

显示以下语言是可解除的： $$ l={\ langle a，b \ rangle：\ text {$ a，b $是dfas，$ l（b）$是有限的，$ l（a） / l（b）= l（0 ^ * 1 ^ *）$} \}。$$

（我在谈论正确的分裂。）

我们知道如何检查DFA的语言是否有限，给出了两个DFA，我们知道如何检查他们的语言是否相等。我知道上述问题的算法使用DFA，因此有必要具有DFA来决定这些问题。

我试图弄清楚<跨度类=“math-container”> $ | l（b）|=idty $ 更改答案。据我所知，因为 $ | l（b）| <\ idty $ ，我们可以显式构造一个接受 $ l（a）/ l（b）$ ，而if如果 $ l（b）=infty $ 我们所知道的是关于存在的 $ dfa $ 接受 $ l（a）/ l（b）$ 。

但是，即使 $ l（b）$ 是无限的语言，因为有一个有限数量的DFA，其中一个接受 $ L（a）/ l（b）$ ，我肯定知道有一个图灵机决定语言 $ l $ 。 右？

Answer 1

你真正的要求是给定自动机 $ a，b $ ，我们可以构建一种自动机，他们的语言是左额字 $$ l（a）\ backslash l（b）={w：\存在x \ in \ sigma ^ * \ text {s.t. x \在l（a）\ text {和} xw \中l（b）\}。 $$ （问题有同于转到正确的商品，可以类似地处理。）

这里是这样的结构。假设 $ a，b $ 是dfas与状态 $ q_b $ ，初始状态 $ q_ {0a}，q_ {0b} $ ，转换函数 $ \ delta_a，\ delta_b $ 和最终状态 $ f_a，f_b $ 。我们使用状态构建NFA $ q=（\ {0 \} \ times q_a \ times q_b）\ cup（\ {1 \} \ times q_b）$ ，初始状态 $ \ langle 0，q_ {0a}，q_ {0b} \ rangle $ ，最终状态 $ \ {1 \} \ times f_b $ ，以及以下转换函数 $ \ delta $ ：

• $ \ delta（\ langle 0，q_a，q_b \ rangle，\ epsilon）={\ langle 0，\ delta_a（q_a，\ sigma），\ delta_b（q_b ，\ sigma）\ rangle：\ sigma \ in \ sigma \} $ 为所有 $ q_a \ in q_a \ setminus f_a $ 和 $ q_b \在q_b $ 中。
• $ \ delta（\ langle 0，q_a，q_b \ rangle，\ epsilon）={\ langle 0，\ delta_a（q_a，\ sigma），\ delta_b（q_b ，\ sigma）\ rangle：\ sigma \ in \ sigma \} \ cup \ {\ langle 1，q_b \ rangle \} $ 对于所有 $ q_a \在f_a中$ 和 $ q_b \在q_b $ 中。
• $ \ delta（\ langle 1，q_b \ rangle，\ sigma）={\ langle 1，\ delta_b（q_b，\ sigma）\ rangle \} $ 对于所有 $ \ sigma \ in \ sigma $ 和 $ q_b \在q_b $ 中。

Answer 2

这是一个问题的不同版本，其中有问题的语言是 $ l（a）\ setminus l（b）$ 。

这是一个用于决定 $ l $ ：

的算法

• 使用产品构造构建DFA $ C $ ，其语言是 $ l（a）\ setminus l（ b）$ 。
let $ d $ 是一种dfa，其语言是 $ 0 ^ * 1 ^ * $ 。< / li>
• 使用产品施工再次构建DFA $ E $ ，其语言是 $ l（c）\ delta l （d）$ 。
• 检查（使用bfs / dfs）是否从其初始状态访问的 $ e $ 的某些最终状态。
如果从初始状态无法访问最终状态，则输出“是”。否则输出“否”。

正如您所看到的，沿途遇到的语言是有限的还是无限的，对于该算法来说绝对没有差异。