$（+，\ oplus）$超过$ \ mathbb {z} _2 ^ n $

Question

let $ \ mathbb {z} _2 ^ n $ 是长度 $ n $ 并定义XOR运算符 $ \ oplus $ 和此字段上的添加运算符 $ + $ 使用 $ + $ 具有常规溢出语义（Take添加Modulo $ 2 ^ $ ）。

是可以表达任何映射 $ f：\ mathbb {z} _2 ^ n \ lightarrow \ mathbb {z} _2 ^ $ $ \ oplus $ 和 $ + $ ？由于 $ + $ 的非线性，它似乎可能有可能。

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例如，如果我们给出 $ n= 2 $ 并且该 $ f（0）= 3，f （1）= 1，f（2）= 3，f（3）= 1 $ ，然后我们可以构建 $ f $ 作为 $ f（x）= x \ oplus（x + 3）$ 。

Answer 1

nope。例如，您无法表达函数 $ f（x）= x >> 1 $ 。通常， $ f（x）$ 的最小有效位仅取决于 $ x的最低有效位$ 。您可以通过结构归纳来证明，使用以下两个属性： $（a \ oplus b）\ bmod 2=（a \ bmod 2）\ oplus（b \ bmod 2）$和 $（a + b）\ bmod 2=（a \ bmod 2）+（b \ bmod 2）\ bmod 2 $ 。