一种生成正半定矩阵的简单算法

Question

我想生成正随机半定矩阵。我正在寻找一种算法，或者更优选的是C，matlab，java或任何语言的算法的简单实现。

Answer 1

1. 生成随机矩阵
2. 乘以它自己的换位
3. 你已经获得了一个正的半确定矩阵。

示例代码（Python）：

from scipy import random, linalg
matrixSize = 10 
A = random.rand(matrixSize,matrixSize)
B = numpy.dot(A,A.transpose())
print 'random positive semi-define matrix for today is', B

Answer 2

您需要明确<！> quot; random <！>“的定义。您对结果矩阵的约束是什么？您希望系数均匀分布或正态分布吗？您是否希望特征值具有特定分布？ （等）

有许多方法可以生成正半定矩阵M，包括：

1. 给定任意矩阵A，计算M = A ^T A（构建 Cholesky分解）
2. 给定具有非负对角线条目的任意对角矩阵S和相同大小的标准正交矩阵Q，计算M = QSQ ^T （构造奇异值分解）

由于数值原因，我可能会选择第二种方法，生成具有所需属性的对角矩阵，然后生成Q作为多个 Householder反射（生成随机向量v，缩放到单位长度，H = I - 2vv ^T ）;我怀疑你想要使用K * N，其中N是矩阵M的大小，而K是1.5-3之间的数字（我猜这个）确保它有足够的自由度。

您还可以使用 Givens旋转生成标准正交矩阵Q：从1中选择2个不同的值到N并产生围绕这对轴的Givens旋转，角度从0到2 * pi均匀分布。然后取这些K * N（与上段相同的推理），它们的组成产生Q.

编辑：我猜测（不确定）如果你有独立生成和正态分布的系数，那么矩阵作为一个整体将是<！>正常分布的< ！> QUOT; （不管它是什么意思）。至少对于矢量来说这是真的。 （N个独立生成的高斯随机变量，每个分量一个，给出高斯随机向量）对于均匀分布的分量，情况并非如此。

Answer 3

如果您可以使用所选语言生成随机矩阵，那么通过使用矩阵乘以其转置的属性为正半定义，您可以生成随机正半正定矩阵

在Matlab中，它就像

一样简单

% Generate a random 3x3 matrix
    A = rand(3,3) 
% Multiply by its tranpose
    PosSemDef = A'*A 

Answer 4

关于半正定矩阵的自然分布是 Wishart发行版。

Answer 5

A'* A将给出一个正半精子矩阵iff，并且只有当A是缺乏秩时。所以上面提到的答案以及从维基百科中复制的答案通常都不正确。为了计算正半定矩阵，只需采用矩形m乘n矩阵（m <！> n;）并将其乘以其转置。即如果B是m×n矩阵，则m <！> lt; n，则B'* B是半定矩阵。我希望这会有所帮助。

Answer 6

澄清一点（我希望）。设A是随机矩阵（例如，由随机正规变量填充），m x n，其中m <！> gt; = n。然后如果A是完整的列级别，A'A将是肯定的。如果A的等级为<！> lt;那么A'A将是半正的（但不是 肯定的。）

m <！> gt; = n的随机正规矩阵几乎肯定是满秩的;为了生成秩不足的矩阵，可以附加一个或多个列，这些列是其他列的线性组合。