抛物线和线段的交点

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/3608977

题

我有一个抛物曲线相交的指定点的等式，在我的情况，其中用户点击的曲线图。 

 // this would typically be mouse coords on the graph
 var _target:Point = new Point(100, 50);

 public static function plot(x:Number, target:Point):Number{
  return (x * x) / target.x * (target.y / target.x);
 }

这给出了一个曲线图，如这样的：

“抛物线”

我也有由开始和结束坐标定义的一系列线段的：

startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number

我需要找到是否以及何处该曲线相交这些段（A）：

“替代文字”

如果它的任何帮助，startX总是< endX

我感觉有做这一个相当简单的方式，但我真的不知道该怎么寻找，我也不是在“适当”的数学很精通，所以实际的代码示例将非常赞赏。

更新：

我有交集的工作，但我的解决方案给我的坐标y轴的反面。

更换我的目标COORDS用A和B分别给出了该方程的情节：

(x * x) / A * (B/A)

// this simplifies down to:
(B * x * x) / (A * A)

// which i am the equating to the line's equation
(B * x * x) / (A * A) =  m * x + b

// i run this through wolfram alpha (because i have no idea what i'm doing) and get:
(A * A * m - A * Math.sqrt(A * A * m * m + 4 * b * B)) / (2 * B)

此是一个正确的答案，但我想在第二可能的变化。 我设法用-1计算之前最后一次计算收益乘以m和做同样与x值纠正这一点，但感觉就像一个黑客攻击。

解决方案：

 public static function intersectsSegment(targetX:Number, targetY:Number, startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number):Point {
  // slope of the line
  var m:Number = (endY - startY) / (endX - startX);

  // where the line intersects the y-axis
  var b:Number = startY - startX * m;

  // solve the two variatons of the equation, we may need both
  var ix1:Number = solve(targetX, targetY, m, b);
  var ix2:Number = solveInverse(targetX, targetY, m, b);

  var intersection1:Point;
  var intersection2:Point;

  // if the intersection is outside the line segment startX/endX it's discarded
  if (ix1 > startX && ix1 < endX) intersection1 = new Point(ix1, plot(ix1, targetX, targetY));
  if (ix2 > startX && ix2 < endX) intersection2 = new Point(ix2, plot(ix2, targetX, targetY));

  // somewhat fiddly code to return the smallest set intersection
  if (intersection1 && intersection2) {
   // return the intersection with the smaller x value
   return intersection1.x < intersection2.x ? intersection1 : intersection2;
  } else if (intersection1) {
   return intersection1;
  }

  // this effectively means that we return intersection2 or if that's unset, null
  return intersection2;
 }

 private static function solve(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number {
  return (m + Math.sqrt(4 * (B / (A * A)) * b + m * m)) / (2 * (B / (A * A)));
 }

 private static function solveInverse(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number {
  return (m - Math.sqrt(4 * (B / (A * A)) * b + m * m)) / (2 * (B / (A * A)));
 }

 public static function plot(x:Number, targetX:Number, targetY:Number):Number{
  return (targetY * x * x) / (targetX * targetX);
 }
有帮助吗？

解决方案

或者，更明确的呢。

如果您的抛物曲线是 y(x)= A x2+ B x + C (Eq 1)

和您的线路是 y(x) = m x + b (Eq 2)

在两个可能的解决方案（+和 - ）对于x是

x = ((-B + m +- Sqrt[4 A b + B^2 - 4 A C - 2 B m + m^2])/(2 A))   (Eq 3)

您应该检查，如果你的段终点（以x）中包含任何这两点。如果它们，只需更换相应的X在y =米×+ B方程得到的y坐标的交点

修改> 的

要获得最后一个方程，你刚才说的“Y”公式1等于在EQ 2“Y”（因为你正在寻找一个路口！）。 这就给了你：

A x2+ B x + C = m x + b

和重组

A x2+ (B-m) x + (C-b) = 0
结果 这是一个二次方程。

等式3仅仅是两种可能的解决此二次的。

修改2> 的

重新读取您的代码，似乎你的抛物线由下式定义 y(x) = A x2

其中，点击 A = (target.y / (target.x)2)

所以你的情况公式3简单地变为

 x = ((m +- Sqrt[4 A b + m^2])/(2 A))   (Eq 3b)

HTH！

其他提示

径为曲线方程并把你的线为Y = mx + b中的形式。求解x和然后确定如果X是您的起点和结束点之间为您线段。

退房： http://mathcentral.uregina.ca/ QQ /数据库/ QQ.09.03 / senthil1.html

您这样做往往不够渴望独立的测试，看看在交叉点之前存在实际计算的交叉点？如果是这样，考虑的是，你的抛物线为函数f的水平集（X，Y）= Y - （B * X * X）/（A * A） - 具体地，一个用于其中F（X， Y）= 0。将你的两个端点为F（X，Y） - 如果他们有相同的符号，他们是在抛物线的同一侧，而如果他们有不同的标志，他们是在不同的侧面抛物线。

现在，你仍然可能有段贯穿着抛物线的两次的，而本次测试没有赶上。但是，一些关于你定义问题的方式让我觉得也许这就是确定你的应用程序。

换句话说，需要calulate方程式为每个线段y = Ax + B比较它曲线方程y = Cx^2 + Dx + E所以Ax + B - Cx^2 - Dx - E = 0，看看是否有startX和endX值之间的溶液中。

许可以下： CC-BY-SA 和 归因
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