题

我有一个概率问题，我需要在合理的时间内进行模拟。以简化的形式，我有30个不公平的硬币，每个硬币都有不同的已知概率。然后，我想问一下“概率12个头的概率是什么？”或“至少有5个尾巴是什么概率？”。

我知道基本的概率理论，所以我知道我可以列举所有（30个选择X）的可能性，但这不是特别可扩展的。最糟糕的情况（30选择15）具有超过1.5亿的组合。从计算的角度来看，有更好的方法可以解决此问题吗？

非常感谢任何帮助，谢谢！ :-)

有帮助吗？

解决方案

您可以使用动态编程方法。

例如，为了计算30个硬币中12个头的概率，令P（n，k）为第一n个硬币中k头的概率。

然后p（n，k）= p_n * p（n -1，k -1） +（1 -p_n） * p（n -1，k）

（这里是p_i是“我的硬币是头”的概率）。

现在，您可以在动态编程算法中使用此关系。具有13个概率的向量（代表p（n -1，i）的i在0..12中）。使用上述复发关系为P（n，i）构建13个新向量。重复直到n = 30。当然，您从向量（1、0、0、0，...）开始n = 0（因为没有硬币，您一定不会有头部）。

使用此算法的最坏情况是O（n^2），而不是指数。

其他提示

这实际上是一个有趣的问题。我受到启发写一篇有关它的博客文章，详细介绍了公平与不公平的硬币一路扔到OP的情况下，每个硬币的可能性都不同。您需要一种称为动态编程的技术来在多项式时间内解决此问题。

一般问题： 给出 C, ， 一系列的 n 硬币 p1 到 pn 在哪里 p一世 表示 一世- the头来了，概率是多少 k 扔掉所有硬币的头部？

这意味着解决以下复发关系：

p(n,k,C,一世) = p一世 X p(n-1,k-1,C,一世+1) + (1-p一世） X p(n,k,C,一世+1)

执行此操作的Java代码片段是：

private static void runDynamic() {
  long start = System.nanoTime();
  double[] probs = dynamic(0.2, 0.3, 0.4);
  long end = System.nanoTime();
  int total = 0;
  for (int i = 0; i < probs.length; i++) {
    System.out.printf("%d : %,.4f%n", i, probs[i]);
  }
  System.out.printf("%nDynamic ran for %d coinsin %,.3f ms%n%n",
      coins.length, (end - start) / 1000000d);
}

private static double[] dynamic(double... coins) {
  double[][] table = new double[coins.length + 2][];
  for (int i = 0; i < table.length; i++) {
    table[i] = new double[coins.length + 1];
  }
  table[1][coins.length] = 1.0d; // everything else is 0.0
  for (int i = 0; i <= coins.length; i++) {
    for (int j = coins.length - 1; j >= 0; j--) {
      table[i + 1][j] = coins[j] * table[i][j + 1] +
          (1 - coins[j]) * table[i + 1][j + 1];
    }
  }
  double[] ret = new double[coins.length + 1];
  for (int i = 0; i < ret.length; i++) {
    ret[i] = table[i + 1][0];
  }
  return ret;
}

这是在构造一张表，该表显示了来自 p一世 到 pn 包含 k 头。

为了更深入地介绍二项式概率和有关如何应用动态编程的讨论 硬币抛弃，二项式和动态编程.

伪代码：

    procedure PROB(n,k,p)
/*
    input: n - number of coins flipped
           k - number of heads
           p - list of probabilities  for n-coins where p[i] is probability coin i will be heads
    output: probability k-heads in n-flips
    assumptions: 1 <= i <= n, i in [0,1], 0 <= k <= n, additions and multiplications of [0,1] numbers O(1)
*/

A = ()() //matrix
A[0][0] = 1 // probability no heads given no coins flipped = 100%

for i = 0  to  k                                                              //O(k)
    if  i != 0  then  A[i][i] = A[i-1][i-1] * p[i]
    for j = i + 1  to  n - k + i                                              //O( n - k + 1 - (i + 1)) = O(n - k) = O(n)
        if i != 0 then  A[i][j] = p[j] * A[i-1][j-1] + (1-p[j]) * A[i][j-1]
        otherwise       A[i][j] = (1 - p[j]) * A[i][j-1]
return A[k][n] //probability k-heads given n-flips

最坏的情况= o（kn）

许可以下： CC-BY-SA 和 归因
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