如何将正方形上的坐标转换为圆上的坐标？

Question

我正在开发一款独立视频游戏，并且假设因为我的控制器上的拇指操纵杆具有圆形运动范围，所以它返回“圆形”视频游戏。坐标;也就是说，笛卡尔坐标约束为圆形区域（半径为1）。实际上，坐标是“正方形”;例如，右上方的拇指操纵杆位置记录为x = 1，y = 1。当我将坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标时，幅度可以超过1 - 这样可以使玩家在对角线上移动得比垂直或水平移动更快。

因此，为了澄清，我想用方向和幅度来记录模拟拇指操纵杆的位置，其中幅度在0和1之间。拇指操纵杆返回方形平面上的坐标，因此只需转换坐标笛卡尔到极地是不够的。我想我需要转换坐标 space ，但这会压迫我的猴子大脑的极限。

Answer 1

请参阅将广场映射到圆圈。映射还有一个很好的可视化。你得到：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

Answer 2

映射不是唯一的。这个问题还有很多其他解决方案。

例如，此映射也可以使用

  

u = x＆＃8730;（x＆＃178; + y＆＃178; - x＆＃178; y＆＃178;）/＆＃8730;（x＆＃178; + y＆＃178;）

     

v = y＆＃8730;（x＆＃178; + y＆＃178; - x＆＃178; y＆＃178;）/＆＃8730;（x＆＃178; + y＆＃178;）

其中（u，v）是圆盘坐标，（x，y）是方坐标。

一张图片胜过千言万语，所以这里有一些图片来说明映射的非唯一性及其反转。

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对于其他映射的C ++实现，请转到
http://squircular.blogspot.com/2015/09/fg-squircle -mapping.html 结果 有关映射结果的更多图像，请参见 http://squircular.blogspot.com 。

另请参阅“平移光盘的分析方法”，讨论使用样张讨论不同映射方程的论文和派生。

Answer 3

将每个值除以幅度，以将所有值标准化为单位矢量，例如

magn = sqrt(x * x + y * y);
newx = magn > 1.0 ? x / magn : x;
newy = magn > 1.0 ? y / magn : y;

然而，这可能具有削减幅度而不是对内部值进行归一化的效果。也就是说，对于推动“完全”按下的控制器，您将得到相同的值。进入左上角，控制器几乎完全推向同一方向。