一个整数范围至少包含一个完美的正方形吗？

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/3140562

题

给定两个整数 a 和 b, ，是否有一种有效的方法来测试是否还有另一个整数 n 这样 a ≤ n2 < b?

我不需要知道 n, ，只有至少一个这样的 n 是否存在，所以我希望 避免计算平方根 间隔中的任何数字。

虽然 测试单个整数是否是完美的正方形，比计算平方根要快, ，该范围可能很大，我也希望避免为该范围内的每个数字执行此测试。

例子：

  • intervalContainsSquare(2, 3) => false
  • intervalContainsSquare(5, 9) => false（注意：9不在此间隔之外）
  • intervalContainsSquare(9, 9) => false（此间隔为空）
  • intervalContainsSquare(4, 9) => true（在此间隔内4个）
  • intervalContainsSquare(5, 16) => true（9个间隔内9个）
  • intervalContainsSquare(1, 10) => true（1、4和9都在此间隔内）
有帮助吗？

解决方案

据我所知，计算数字是否是正方形并不比在硬情况下计算其平方根的速度更快。正确的是，您可以预先知道它不是正方形，这可能会节省您的时间。

同样，对于此问题，您可以做一个预先计算来确定SQRT（B）-SQRT（A）> = 1，这意味着A和B的分开足够远，以至于它们之间必须有一个正方形。对于某些代数，这种不平等等同于（BA-1）^2> = 4*A，或者如果您希望以更对称的形式，（AB）^2+1> = 2*（A） +b）。因此，只有一个整数产品以及一些添加和减法，就可以在没有方形根部的情况下完成此预算。

如果A和B几乎完全相同，那么您仍然可以使用将低顺序二进制数字视为预先出现的技巧，以了解它们之间没有正方形。但是他们必须如此亲密，以至于这种先例可能不值得。

如果这些预算尚无定论，那么除了其他所有人的解决方案之外，我无法想到其他任何事情，a <= ceil（sqrt（a））^2 <b。

由于有一个正确的代数问题的问题：

sqrt(b)-sqrt(a) >= 1
sqrt(b) >= 1+sqrt(a)
b >= 1+2*sqrt(a)+a
b-a-1 >= 2*sqrt(a)
(b-a-1)^2 >= 4*a

另外：通常，当A是大数字时，您将使用牛顿的方法计算SQRT（a），或者使用查找表进行了一些牛顿的方法步骤。原则上，计算Ceil（SQRT（a））比SQRT（a）要快，因为浮点算术可以简化为整数算术，并且因为您不需要多大的牛顿的方法来确定高精度你只是要扔掉。但是实际上，如果数值库函数使用Microcode中实现的平方根，则可以更快。如果出于某种原因您没有该微码可以帮助您，那么手动编码CEIL（SQRT（a））可能值得。也许最有趣的情况是，如果A和B是无限的整数（例如一千位数字）。但是，对于普通的非观察计算机上的普通大小整数，您无法击败FPU。

其他提示

获取较低数字的平方根。如果这是一个整数，那么您就完成了。否则将数字和平方汇合。如果这小于B，那是真的。

您只需要以这种方式计算一个平方根。

为了避免A何时等于B的问题，您应该先检查该问题。因为这种情况总是是错误的。

如果您接受计算两个平方根，因为它的单调性，您的不平等现象等同于您的起点：

sqrt(a) <= n < sqrt(b)

因此，如果 floor(sqrt(a)) != floor(sqrt(b)), floor(sqrt(b)) - 1 保证是这样的 n.

  1. 获取较低数字的平方根并将其舍入
  2. 获取较高数字的平方根并将其舍入
  3. 如果1较低或等于2，则会有一个完美的正方形

找到SQRT（A）和SQRT（B）的整体部分，例如SA和SB。

如果SA2 = a，然后输出是。

如果SB2 = b和sa = sb-1，然后输出号。

如果sa <sb输出是。

否则输出号。

您可以优化上述内容以摆脱SQRT（b）的计算（类似于Jdunkerly的答案）。

还是您也想避免计算A和B的平方根？

您可以使用类似于二进制搜索的方法完全避免完全计算正方形。

您从猜测n，n = 1开始，并计算n2

考虑一下<= n <b，您可以停止。

如果n <a <b，您的猜测n加倍。如果a <b <n，则将其接近当前 +上一个猜测的平均值。

这将是o（logb）时间。

除了Jdunkerley的Nice解决方案（+1）外，还需要进行测试和使用的可能改进 整数正方形 计算整数平方根

您为什么希望完全避免平方根？甚至在达到解决此问题的最有效方法之前，您还看到了只有2个平方根的方法。这是在O（1）时间完成的，因此在我看来，您希望做出的任何进步都将花费更多的时间来思考，而不是为您节省计算时间。我错了吗？

一种方法是使用牛顿的方法查找 整数平方根 为了 b. 。然后，您可以检查该数字是否属于该范围。我怀疑它比简单地调用平方根函数更快，但是它当然更有趣：

int main( int argc, char* argv[] )
{
    int a, b;
    double xk=0, xk1;
    int root;
    int iter=0;
    a = atoi( argv[1] );
    b = atoi( argv[2] );

    xk1 = b / 32 + 1;  // +1 to ensure > 0
    xk1 = b;
    while( fabs( xk1 - xk ) >= .5 ) {
        xk = xk1;
        xk1 = ( xk + b / xk ) / 2.;
        printf( "%d) xk = %f\n", ++iter, xk1 );
    }

    root = (int)xk1;

    // If b is a perfect square, then this finds that root, so it also
    // needs to check if (n-1)^2 falls in the range.
    // And this does a lot more multiplications than it needs
    if ( root*root >= a && root*root < b ||
         (root-1)*(root-1) >= a && (root-1)*(root-1) < b )
        printf( "Contains perfect square\n" );
    else
        printf( "Does not contain perfect square\n" );

    return 1;
}
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