是有一个简单的算法，可以确定，如果X是总理，并不混淆的一个凡人的程序员？

Question

我已经努力工作我的方式，通过项目欧拉，并且已经注意到了少数几个问题问你要确定一个总理数量，作为它的一部分。

1. 我知道我只能划分的x的2, 3, 4, 5, ..., 方根X如果我得到的平方根，我可以(安全)假设的数量是总理。不幸的是这种解决方案似乎是相当破.

2. 我已经看到更好的算法对如何确定一数量是首要的，但感到困惑快。

是有一个简单的算法，可以确定，如果X是总理，并不混淆的一个凡人的程序员？

谢谢!

Answer 1

第一个算法非常好，并且在Project Euler上使用了很多。如果你知道你想要的最大数量，你也可以研究Eratosthenes的筛子。

如果你保留素数列表，你也可以优化第一个算法，只用素数除以数字的平方根。

有了这两个算法（划分和筛子），你应该能够解决问题。

修改：注释

中注明的固定名称

Answer 2

要生成小于限制的所有素数 Sieve of Eratosthenes （该页面包含变体） 20种编程语言）是最古老，最简单的解决方案。

在Python中：

def iprimes_upto(limit):
    is_prime = [True] * limit
    for n in range(2, limit):
        if is_prime[n]:
           yield n
           for i in range(n*n, limit, n): # start at ``n`` squared
               is_prime[i] = False

示例：

>>> list(iprimes_upto(15))
[2, 3, 5, 7, 11, 13]

Answer 3

我看到费马的素性测试已被提出，但我一直在研究计算机程序的结构和解释，他们还提供了 Miller-Rabin测试（参见第1.2.6节，问题1.28）作为另一种选择。我一直在使用它成功解决欧拉问题。

Answer 4

这是一个简单的方法优化，它不是Eratosthenes的Sieve，但很容易实现：首先尝试将X除以2和3，然后循环j = 1..sqrt（X）/ 6，试图除以6 * j-1和6 * j + 1。这会自动跳过可被2或3整除的所有数字，从而获得非常好的常数因子加速度。

Answer 5

铭记以下事实(从 MathsChallenge.net):

• 所有素除了2奇怪。
• 所有素数大于3可以书面形式6k-1或6k+1.
• 你不需要检查过往的平方根n

这里是C++功能我用相对较小的正：

bool isPrime(unsigned long n)
{
    if (n == 1) return false; // 1 is not prime
    if (n < 4) return true; // 2 and 3 are both prime
    if ((n % 2) == 0) return false; // exclude even numbers
    if (n < 9) return true; //we have already excluded 4, 6, and 8.
    if ((n % 3) == 0) return false; // exclude remaining multiples of 3

    unsigned long r = floor( sqrt(n) );
    unsigned long f = 5;
    while (f <= r)
    {
        if ((n % f) == 0)  return false;
        if ((n % (f + 2)) == 0) return false;
        f = f + 6;
    }
    return true; // (in all other cases)
}

你很可能认为的更为优化的你自己。

Answer 6

我建议费马的素性测试。这是一个概率测试，但它经常出人意料地正确。与筛子相比，它的速度非常快。

Answer 7

对于相当小的数字，高达sqrt（x）的x％n非常快速且易于编码。

简单改进：

仅测试2和奇数。

测试2,3和6 +或-1的倍数（除了2或3之外的所有素数都是6 +/- 1的倍数，所以你基本上只是跳过所有偶数和所有3的倍数

仅测试素数（需要计算或存储所有素数到sqrt（x））

您可以使用筛选方法快速生成所有素数列表，直到某个任意限制，但它往往是内存密集型。您可以使用6个技巧的倍数将内存使用量降低到每个数字的1/3。

我写了一个简单的素数类（C＃），它使用两个位域为6 + 1的倍数和6-1的倍数，然后做一个简单的查找...如果我测试的数字超出了界限筛子，然后它回落测试2,3和6 +/- 1的倍数。我发现生成一个大筛子实际上需要花费更多的时间，因为我已经解决了大部分的欧拉问题。至今。 KISS原则再次爆发！

我写了一个使用筛子来预先计算较小质数的素数类，然后依靠测试2,3和6 +/- 1的倍数用于筛子范围之外的那些。

Answer 8

对于Project Euler，拥有素数列表非常重要。我建议维护一个用于解决每个问题的列表。

我认为您正在寻找的是 Sieve of Eratosthenes 。

Answer 9

你的权利简单是最慢的。你可以稍微优化一下。

研究使用模数而不是平方根。 跟踪你的素数。你需要将7除以2,3和5，因为6是2和3的倍数，4是2的倍数。

Rslite提到 eranthenos筛子。这是相当直接的。我家里有几种语言。如果您希望我稍后发布该代码，请添加评论。

---

这是我的C ++版。它有很大的改进空间，但与动态语言版本相比速度很快。

// Author: James J. Carman
// Project: Sieve of Eratosthenes
// Description: I take an array of 2 ... max values. Instead of removeing the non prime numbers,
// I mark them as 0, and ignoring them.
// More info: http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes
#include <iostream>

int main(void) {
        // using unsigned short.
        // maximum value is around 65000
        const unsigned short max = 50000;
        unsigned short x[max];
        for(unsigned short i = 0; i < max; i++)
                x[i] = i + 2;

        for(unsigned short outer = 0; outer < max; outer++) {
                if( x[outer] == 0)
                        continue;
                unsigned short item = x[outer];
                for(unsigned short multiplier = 2; (multiplier * item) < x[max - 1]; multiplier++) {
                        unsigned int searchvalue = item * multiplier;
                        unsigned int maxValue = max + 1;
                        for( unsigned short maxIndex = max - 1; maxIndex > 0; maxIndex--) {
                                if(x[maxIndex] != 0) {
                                        maxValue = x[maxIndex];
                                        break;
                                }
                        }
                        for(unsigned short searchindex = multiplier; searchindex < max; searchindex++) {
                                if( searchvalue > maxValue )
                                        break;
                                if( x[searchindex] == searchvalue ) {
                                        x[searchindex] = 0;
                                        break;
                                }
                        }
                }
        }
        for(unsigned short printindex = 0; printindex < max; printindex++) {
                if(x[printindex] != 0)
                        std::cout << x[printindex] << "\t";
        }
        return 0;
}

我会在发现它时立即抛出Perl和python代码。它们的风格相似，只是线条较少。

Answer 10

这是D（数字火星）中的一个简单的素性测试：

/** 
 * to compile:
 * $ dmd -run prime_trial.d
 * to optimize:
 * $ dmd -O -inline -release prime_trial.d 
 */
module prime_trial;

import std.conv : to;  
import std.stdio : w = writeln;

/// Adapted from: http://www.devx.com/vb2themax/Tip/19051 
bool 
isprime(Integer)(in Integer number) 
{
  /* manually test 1, 2, 3 and multiples of 2 and 3 */
  if (number == 2 || number == 3)
    return true;
  else if (number < 2 || number % 2 == 0 || number % 3 == 0)
    return false;

  /* we can now avoid to consider multiples 
   * of 2 and 3. This can be done really simply 
   * by starting at 5 and incrementing by 2 and 4 
   * alternatively, that is: 
   *    5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, ...    
   * we don't need to go higher than the square root of the number */
  for (Integer divisor = 5, increment = 2; divisor*divisor <= number; 
       divisor += increment, increment = 6 - increment) 
    if (number % divisor == 0)
      return false;

  return true;  // if we get here, the number is prime
}

/// print all prime numbers less then a given limit
void main(char[][] args) 
{
  const limit = (args.length == 2) ? to!(uint)(args[1]) : 100;
  for (uint i = 0; i < limit; ++i) 
    if (isprime(i))
      w(i);
}

Answer 11

我正在通过Project Euler问题工作，事实上刚刚完成＃3（通过id），这是搜索复合数字的最高素数因子（？中的数字是600851475143）。

我查看了关于素数的所有信息（这里已经提到的筛子技术），以及维基百科上的整数因子分解，并提出了我决定做的蛮力试验分割算法。

因此，当我正在研究euler问题以学习ruby时，我正在研究编码我的算法并偶然发现了一个带有 Prime class 和带有prime_division 方法的整数类。多么酷啊。我能够通过这个ruby片段得到问题的正确答案：

require "mathn.rb"
puts 600851475143.prime_division.last.first

此代码段会向控制台输出正确的答案。当然，在我偶然发现这个小小的美女之前，我最终做了大量的阅读和学习，我以为我会和大家分享......

Answer 12

我喜欢这个python代码。

def primes(limit) :
    limit += 1
    x = range(limit)
    for i in xrange(2,limit) :
        if x[i] ==  i:
            x[i] = 1
            for j in xrange(i*i, limit, i) :
                x[j] = i
    return [j for j in xrange(2, limit) if x[j] == 1]

此变体可用于生成数字因子。

def factors(limit) :
    limit += 1
    x = range(limit)
    for i in xrange(2,limit) :
        if x[i] == i:
            x[i] = 1
            for j in xrange(i*i, limit, i) :
                x[j] = i
    result = []
    y = limit-1
    while x[y] != 1 :
        divisor = x[y]
        result.append(divisor)
        y /= divisor
    result.append(y)
    return result

当然，如果我考虑一批数字，我就不会重新计算缓存;我会做一次并在其中进行查找。

Answer 13

没有优化，但它是一个非常简单的功能。

    function isprime(number){

    if (number == 1)
        return false;

    var times = 0;

    for (var i = 1; i <= number; i++){
        if(number % i == 0){
            times ++;
        }
    }
        if (times > 2){
            return false;
        }

    return true;
    }

Answer 14

也许这种Java实现很有帮助：

public class SieveOfEratosthenes {

    /**
     * Calling this method with argument 7 will return: true true false false true false true false
     * which must be interpreted as : 0 is NOT prime, 1 is NOT prime, 2 IS prime, 3 IS prime, 4 is NOT prime
     * 5 is prime, 6 is NOT prime, 7 is prime.
     * Caller may either revert the array for easier reading, count the number of primes or extract the prime values
     * by looping.
     * @param upTo Find prime numbers up to this value. Must be a positive integer.
     * @return a boolean array where index represents the integer value and value at index returns
     * if the number is NOT prime or not.
     */
    public static boolean[] isIndexNotPrime(int upTo) {
        if (upTo < 2) {
            return new boolean[0];
        }

        // 0-index array, upper limit must be upTo + 1
        final boolean[] isIndexNotPrime = new boolean[upTo + 1];

        isIndexNotPrime[0] = true; // 0 is not a prime number.
        isIndexNotPrime[1] = true; // 1 is not a prime number.

        // Find all non primes starting from 2 by finding 2 * 2, 2 * 3, 2 * 4 until 2 * multiplier > isIndexNotPrime.len
        // Find next by 3 * 3 (since 2 * 3 was found before), 3 * 4, 3 * 5 until 3 * multiplier > isIndexNotPrime.len
        // Move to 4, since isIndexNotPrime[4] is already True (not prime) no need to loop..
        // Move to 5, 5 * 5, (2 * 5 and 3 * 5 was already set to True..) until 5 * multiplier > isIndexNotPrime.len
        // Repeat process until i * i > isIndexNotPrime.len.
        // Assume we are looking up to 100. Break once you reach 11 since 11 * 11 == 121 and we are not interested in
        // primes above 121..
        for (int i = 2; i < isIndexNotPrime.length; i++) {
            if (i * i >= isIndexNotPrime.length) {
                break;
            }
            if (isIndexNotPrime[i]) {
                continue;
            }
            int multiplier = i;
            while (i * multiplier < isIndexNotPrime.length) {
                isIndexNotPrime[i * multiplier] = true;
                multiplier++;
            }
        }

        return isIndexNotPrime;
    }

    public static void main(String[] args) {
        final boolean[] indexNotPrime = SieveOfEratosthenes.isIndexNotPrime(7);
        assert !indexNotPrime[2]; // Not (not prime)
        assert !indexNotPrime[3]; // Not (not prime)
        assert indexNotPrime[4]; // (not prime)
        assert !indexNotPrime[5]; // Not (not prime)
        assert indexNotPrime[6]; // (not prime)
        assert !indexNotPrime[7]; // Not (not prime)
    }
}

Answer 15

AKS主要测试算法：

Input: Integer n > 1  


if (n is has the form ab with b > 1) then output COMPOSITE  

r := 2  
while (r < n) {  
    if (gcd(n,r) is not 1) then output COMPOSITE  
    if (r is prime greater than 2) then {  
        let q be the largest factor of r-1  
        if (q > 4sqrt(r)log n) and (n(r-1)/q is not 1 (mod r)) then break  
    }  
    r := r+1  
}  

for a = 1 to 2sqrt(r)log n {  
    if ( (x-a)n is not (xn-a) (mod xr-1,n) ) then output COMPOSITE  
}  

output PRIME;   

Answer 16

python中的另一种方式是：

import math

def main():
    count = 1
    while True:
        isprime = True

        for x in range(2, int(math.sqrt(count) + 1)):
            if count % x == 0: 
                isprime = False
                break

        if isprime:
            print count


        count += 2


if __name__ == '__main__':
    main()