最长路径算法的计算复杂性

Question

我编写了一个代码段，以确定图中最长的路径。以下是代码。但是我不知道如何获得计算复杂性，因为中间有递归方法。由于找到最长的路径是NP完整的问题，所以我认为这是类似的 O(n!) 或者 O(2^n), ，但是我该如何实际确定呢？

public static int longestPath(int A) {
    int k;
    int dist2=0;
    int max=0;

    visited[A] = true;

    for (k = 1; k <= V; ++k) {
        if(!visited[k]){
            dist2= length[A][k]+longestPath(k);
            if(dist2>max){
                max=dist2;
            }
        }
    }
    visited[A]=false;
    return(max);
}

Answer 1

您的复发关系是 T(n, m) = mT(n, m-1) + O(n), ， 在哪里 n 表示节点的数量和 m 表示未访问的节点的数量（因为您致电 longestPath m 时间，还有一个循环执行访问的测试 n 时代）。基本案例是 T(n, 0) = O(n) （只是访问的测试）。

解决这个问题，我相信您会得到t（n，n）是o（n * n！）。

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在职的：

T(n, n) = nT(n, n-1) + O(n) 
        = n((n-1)T(n, n-2) + O(n)) + O(n) = ...
        = n(n-1)...1T(n, 0) + O(n)(1 + n + n(n-1) + ... + n(n-1)...2)
        = O(n)(1 + n + n(n-1) + ... + n!)
        = O(n)O(n!) (see http://oeis.org/A000522)
        = O(n*n!)