Planen, um die abgeschnittenen Lücken zu minimieren

Question

Ich habe einen einzelnen Job der Einheitslänge, einen Satz von $ N $ Slots, und ein Budget von $ B $ Einheiten. Wenn der Job bei Slot $ T $ geplant ist, konsumiert es $ c (t) $ -Es des Budgets $ B $ . Wenn der Job nicht für einen Zeitraum von $ x $ aufeinanderfolgende Slots ist, dann eine Strafe von $ \ lfloor X / 2 \ rfloor $ tritt auf. Ziel ist es, den Job zu planen, um die Summe der Strafen zu minimieren.

Beispielsweise für $ n= 12 $ , wenn der Job bei Slot 1, am Steckplatz 3, am Steckplatz 6 und bei Slot $ 12 $ , dann ist die Summe der Sanktionen $ \ lfloor 1/2 \ rfloor + \ lfloor 2/2 \ rfloor + \ lfloor 5 / 2 \ rfloor= 0 + 1 + 2= 3 $ .

ist dieses Problem np-hart?

Ich versuche, das Rucksackproblem daran zu reduzieren. Die Umwandlung der Werte in das Rucksackproblem an die Strafen ist irgendwie schwierig, denn sobald der Job in $ T $ ist, wird die Strafe initialisiert.

Answer 1

Das Problem ist die Polynom-Zeit lösbar. Um Randkoffer zu vermeiden, ist es besser, zu glauben, dass der Job zum Zeitpunkt $ 0 $ geplant werden muss, und dieser $ C (0 )= 0 $ .

$ opt [t, p] $ sein Mindestbetrag, der ausgegeben werden muss, um den Job in der ersten $ T $ Slots mit einer Gesamtstrafe von höchstens $ P $ und mit der zusätzlichen Einschränkung, dass der Job geplant werden muss Zeit $ T $ .

$ P (t ', t)=Big \ lfloor \ frac {t-t'-1} {2} \ Big \ Rfloor $ sei Die Strafe, die anfällt, wenn der Job manchmal geplant ist $ T '$ und $ t> t' $ und ist zu keiner Zeit dazwischen geplant.

dann $ opt [0, p]= 0 $ und für $ t> 0 $ : $$ Opt [t, p]= c (t) + \ min _ {\ synape {t '= 0, \ Punkte, T-1 \\ p (t', t) \ le p}} opt \ link [t ', p - p (t ', t) \ richtig] $$

die minimale erreichbare Strafe bis zur Zeit $ T $ , mit der Einschränkung, mit der der Job zum Zeitpunkt $ t geplant ist $ , ist dann: $$ \ mu (t)=min \ \ {p \ in \ {1, \ dots, \ lfloor t / 2 \ rfloor \ \ \ lfloor t / 2 \ rfloor \ \ mid opt [t, p] \ le b \} $$

und die minimal erreichbare Strafe für Ihr Problem ist: $$ \ min_ {t= 0, \ dots, n} \ link \ \ \ mu (t) + p (t, n + 1) \ rechts \}. $$

Beachten Sie, dass es höchstens $ N \ CDOT (P (0, N) +1)= O (N ^ 2) $ Werte $ opt [p, t] $ , um zu berechnen.