Big-O:Warum ist die zeitliche Komplexität dieser Schleifen O(N)?

Question

Ich habe folgende Funktion.

int fun(int n) 
{ 
  int count = 0; 
  for (int i = n; i > 0; i /= 2) 
     for (int j = 0; j < i; j++) 
        count += 1; 
  return count; 
} 

Es hat O(N) Zeitkomplexität.Ich dachte, das ist es O(N LogN)(d. h.Wenn wir die innere Schleife entfernen, erhalten wir)

for (int i = n; i > 0; i /= 2){
...
}

Das ist O(Log N) nicht wahr?Und es stellt sich heraus, dass es eine innere Schleife gibt O(N) da es einfach linear ansteigt.Ich denke also, dass es so sein sollte O(Log N * N).Was könnte bei meinem Gedanken schiefgehen?

Answer 1

Sehen Sie sich an, wie viele Schritte die innere Schleife ausführt.Es ist $n + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}n + \cdots$.Allerdings die geometrische Reihe sagt uns:

$$\sum_{k=0}^{\lceil\log n ceil +c}\frac{n}{2^k} < n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2 ^k} = 2n$$