Warum ist die Kanalkapazität von Awgn unendlich?
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29-09-2020 - |
Frage
Mein Professor hat uns gelehrt, dass die Kanalkapazität von AWGN-Kanal unendlich ist, ohne dass die Stromeinschränkungen eingeht.Das Rauschen ist $ Z \ SIM \ MATHCAL {N} (0, \ Sigma ^ 2) $ .Es gibt keine Einschränkung des Eingangssignals.Ich verstehe nicht, wie der Professor direkt sagen kann, dass die Kanalkapazität unendlich ist.Müssen wir nicht gegenseitige Informationen zwischen Input und Ausgabe maximieren, um die Kanalkapazität zu erhalten?Wie geht es dem für kontinuierliche Variablen?
Lösung
Hier ist ein Codierungsschema, das die Hauptidee zeigt:
codieren: Lassen Sie die Stromeinschränkung
decoding: let $ y $ Bezeichnen Sie das empfangene Signal und $ Z $ Das additive Gaußsche Rauschen wie Sie definiert haben. Wir setzen den Decoder als $ \ Hat {x}=Mathbb {1} _ {\ y y> 0 \}}} (y) $ , wobei
Fehlerwahrscheinlichkeit: Lassen Sie $ p_e $ die Wahrscheinlichkeit des Fehlers bezeichnen. Wir gehen davon aus, dass die Informationsbits gleich wahrscheinlich sind, da wir sonst eine optimale Quellcodierung verwenden können, um sicherzustellen, dass sie sich befinden. Dann,
\ beginnen {ALIGN} P_e &=frac {1} {2} p (y> 0 | x= - \ sqrt {p}) + \ frac {1} {2} p (y \ leq 0 | x=sqrt {p}) \\ &=frac {1} {2} p (z> \ sqrt {p} | x= - \ sqrt {p}) + \ frac {1} {2} p (z \ leq - \ sqrt {p} | X=sqrt {p}) \\ &= P (z> \ sqrt {p})= 1 - \ phi \ linke (\ sqrt {\ frac {p} {\ Sigma ^ 2}}} \ \ \ sigma ^ 2}} \ \ \ \ Sigma ^} \ \ \ \ s \ END {ALIGN}
wo $ \ phi (t)=int _ {- \ fly} ^ t \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} E ^ {- \ frac {-t ^ 2} {2}} $ ist die Gaußsche CDF. Die wichtigste Beobachtung hierbei ist, dass dies als CDF eine nicht abnehmende Funktion ist, die an 1 $ $ in der Grenze konvergiert. Durch die Erhöhung der
ok, wie kommen wir von einer erreichbaren Rate von $ 1 $ bis $ \ Infty $ ? Mal sehen, was passiert, wenn wir unsere Rate von $ 1 $ bis $ 2 $ , durch codieren von zwei Information Bits bei eine Zeit. Lassen
Jetzt, wenn Sie das gleiche Verfahren wie oben verfolgen, erfahren Sie, dass $ p_e= p \ linke (z> \ frac {\ sqrt {p}} {2 } \ RECHTS)= 1 - \ phi \ linke (\ sqrt {\ frac {p} {4 \ sigma ^ 2}} \} \} \ · rechts) $ . Daher können wir erneut einen (größeren)