Reduktion von vc bis {a, k |A ist eine 3DNF (disjunktive Normalform), und es gibt einen Auftrag, der exakte K-Klausätze in einem} erfüllt
Frage
Ich habe die folgende Frage:
\ beginnen {ALIGN} L_2={a, k \ \ Mid \ Text {A ist eine 3DNF (disjunktive Normalform) und} \\ \ text {Es gibt ein Zuweisung $ Z $, der genau $ k $ -klauseln in} \} ist \ END {ALIGN}
Ich weiß, dass
Zeigen Sie, dass $ l_2 \ in $ NP relativ einfach ist, werde ich diesen Teil überspringen.
Ich versuche, diesen
Ich habe die folgende Funktion definiert $ F $ :
$$ f (g, k)= (a, k) $$
Ich dachte an so etwas für jeden Knoten $ i $ in $ g $ Definieren Sie a Literal $ x_i $ , und machen Sie es im 3DNF-Format, $ a=Bigvee (x_i \ wedge x_i \ wedge x_i) $ wo $ 1 \ leq i \ leq n $ wo $ n $ die Anzahl von ist Knoten in $ g $ .
Wir können das Folgendes definieren, das folgende
so einfach zu sehen, dass $ (g, k) \ in $ vc $ \ impliziert (A, K) \ in l_2 $ Seit wir explizit als $ Z $ gezeigt haben, der genau das
Aber ich bin mir nicht sicher, dass die andere Seite
also hält meine Reduktion nicht?
Lösung
Der Grund dafür, warum Sie Probleme haben, ist, dass Ihre Lösung nicht funktioniert. Das Problem ist insbesondere, dass Ihre Formel die VC-Problemanweisung nicht erfasst. Genauer gesagt, die von Ihnen bauende Formel haben immer Aufgaben, die $ K $ Clauses mit einfacher Einstellung $ K $ Variablen zu true und der Rest zu falsch.
Also let $ g= (v, e) $ ein Diagramm und
- .
- $ v \ in x $ aber $ W \ NOTIN X $ ,
- $ v \ NOTIN X $ aber $ w \ in x $
- $ v \ in x $ und $ w \ in x $
Daher ist der Rand $ VW $ von $ x $ falls und nur wenn die Formel < Span-Klasse="Math-Container"> $ \ psi (vw)= (v \ wedge w) \ Vee (\ neg v \ wedge w) \ Vee (v \ wedge \ neg w) $ hat genau eins Zufriedene Klausel (unter der Zuordnung, die dem $ x $ ) ist.
Bauen Sie eine solche Formel für jede Kante und nehmen ihre Disjunktion auf, erhalten wir die DNF-Formel
Hier bleibt nur ein Problem.
Wir könnten einen Auftrag erhalten, der einem VC nicht entspricht, sondern mehr Scheitelpunkte einschließlich der gleichen Anzahl von Klauseln, die eine gewünschte VC erfüllen würde.
Als Mittel können wir die erste Formel einiger
somit erhalten wir die endgültige formel
Beachten Sie, dass ich für Klarheit nicht einen
Ich bin nicht sicher, dass dies der beste Weg ist, dies zu tun, aber es sollte trainieren.Ich habe einige Details für Kürze weggelassen, bitte fühlen Sie sich frei, um weitere Klarstellungen zu fragen, wenn Ihnen etwas nicht klar ist :)