Warum durchschnittliche Dämpfung auf magische Weise die Konvergenz von Festnetz-Punkt-Rechner beschleunigen?

Question

Ich lese durch SICP, und die Autoren Pinsel über die Technik der durchschnittlichen Dämpfung in den Fixpunkten von Funktionen zu berechnen. Ich verstehe, dass es in bestimmten Fällen, dh Quadratwurzeln, um notwendig ist, aber die Schwingung der Funktion y = x/y zu dämpfen, ich verstehe nicht, warum es auf magische Weise die Konvergenz der Fixpunkt-Berechnungsfunktion unterstützt. Hilfe?

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Natürlich, ich habe gedacht, durch etwas. Ich kann nicht meinen Kopf herum zu wickeln scheinen, warum eine Funktion mit sich durchschnittlich Konvergenz beschleunigen würde, wenn sie wiederholt angewendet.

Answer 1

Es beschleunigt nur die Funktionen, des wiederholten Anwendungen „Hop um“ die Fixpoint auf. Intuitiv, es ist wie eine Bremse an ein Pendel Zugabe -. Es wird früher aufhören mit der Bremse

Aber nicht jede Funktion diese Eigenschaft. Betrachten f(x)=x/2. Diese Funktion wird konvergieren früher ohne die durchschnittliche Dämpfung (Logbase 2 Schritte vs Logbase (4/3) Stufen), weil es die Fixpoint von einer Seite nähert.

Answer 2

Während ich Ihre Frage nicht auf einer mathematische Grundlage beantworten kann, werde ich auf einem intuitiv man versuchen: Fixpoint Techniken benötigen ein „flachen“ Funktionsgraphen um ihr ..nun .. Fixpoint. Das bedeutet: Wenn Sie Ihre Fixpoint Funktion auf einer X-Y-Chart Bild, sehen Sie, dass die Funktion den diagonal kreuzt (+ x, + y) genau auf dem wahren Ergebnis. In einem Schritt des Fixpunktes Algorithmus man einen X-Wert werden zu raten, die innerhalb des Intervalls um den Schnittpunkt sein muss, wo die erste Ableitung zwischen ist (-1 .. + 1) und den Y-Wert annehmen. Der Y, dass Sie nahmst näher an den Schnittpunkt wird sein, weil von der Kreuzung ausgehend durch folgenden einen Pfad erreichbar ist, die eine geringere Steigung aufweist als +/- 1 , im Gegensatz zu dem vorherigen X Wert, Sie verwendet, die in diesem Sinne hat, die genaue Steigung -1. Es ist sofort nun klar, dass je kleiner die Neigung, desto mehr so, wie Sie auf den Schnittpunkt machen (die wahre Funktionswert), wenn die Y als neue X unter Verwendung der besten Interpolationsfunktion trivialer eine Konstante ist, die 0 Neigung hat, Sie geben der wahre Wert in dem ersten Schritt.

Es tut uns Leid für alle Mathematiker.