Verwirrt auf Miller-Rabin

Question

Als Übung für mich, ich bin der Umsetzung der Miller-Rabin-Test. (Arbeits durch SICP). Ich verstehe kleinen Satz von Fermat und konnte erfolgreich das umzusetzen. Der Teil, dass ich bin immer auf dem Miller-Rabin-Test gestolpert ist dieses „1 mod n“ Geschäft. Nicht 1 mod n (wobei n eine zufällige ganze Zahl ist) immer 1? Also habe ich auf dem, was eine „nicht-triviale Quadratwurzel von 1 modulo n“ da sein könnte, in meinem Kopf „1 mod n“ verwirrt bin immer 1, wenn sie mit ganzzahligen Werten zu tun. Was bin ich?

Answer 1

1 ist kongruent mod 8 bis 9 so 3 eine nicht triviale Quadratwurzel von 1 mod 8 ist.

, was Sie arbeiten mit nicht einzelnen Zahlen, sondern Äquivalenzsätze. [m]n ist die alle Zahlen x so dass x ist kongruent zu m mod n. Jede Sache, dass sqaures auf jedes Element dieses Satzes ist eine Quadratwurzel m Modulo n.

gegeben jede n, haben wir die Menge der ganzen Zahlen modulo n, die wir als Zn schreiben. dies ist der Satz (Sätze) [1]n, [2]n, ..., [n]n. Jede ganze Zahl liegt in einer und nur einer dieser Sätze. wir können zur Multiplikation mit [a]n + [b]n = [a + b]n und ebenfalls Addition und Multiplikation auf diesen Satz definieren. So eine Quadratwurzel [1]n ist ein (n Element), so dass [b]n [b*b]n = [1]n.

In der Praxis aber wir m mit [m]n und in der Regel wählen Sie das einzigartige Element, m' von [m]n so dass 0 <= m' < n als unsere ‚Vertreter‘ Element conflate kann: das ist, was wir denken, der in der Regel als m mod n. aber es ist wichtig, im Auge zu behalten, dass wir ‚Notation zu missbrauchen‘, wie die Mathematiker sagen.

hier einig (nicht-idiomatische) Python-Code, wie ich habe keinen Plan Interpreter ATM:

>>> def roots_of_unity(n):
...      roots = []
...      for i in range(n):
...          if i**2 % n == 1:
...               roots.append(i)
...      return roots
... 
>>> roots_of_unity(4)
[1, 3]
>>> roots_of_unity(8)
[1, 3, 5, 7]
>>> roots_of_unity(9)
[1, 8]

So, insbesondere (im letzten Beispiel suchen), 17 eine Einheitswurzel modulo 9 in der Tat, 17 ^ 2 = 289 und 289% 9 = 1.e Rückkehr zu unserer bisherigen Notation [8]9 = [17]9 und ([17]9)^2 = [1]9

Answer 2

Deshalb ist die Formulierung für eine nicht-triviale Quadratwurzel von 1 war 1 ist eine triviale Quadratwurzel von 1, für jedes Modul n.

17 ist eine nicht-triviale Quadratwurzel von 1, mod 144. Daher 17 ^ 2 = 289, die kongruent zu 1 mod ist 144. Wenn n eine Primzahl ist, dann 1 und n-1 sind die zwei Quadratwurzeln von 1 und sie sind die einzigen zwei solche Wurzeln. Doch für Verbund n gibt es im Allgemeinen mehrere Quadratwurzeln. Mit n = 144, die Quadratwurzeln sind {1,17,55,71,73,89,127,143}.

Answer 3

Ich glaube, dass das Missverständnis aus der Definition kommt das Buch über die nicht-triviale Wurzel gibt:

a „nicht-triviale Quadratwurzel 1 modulo n“, das heißt, nicht eine Zahl gleich 1 oder n - 1 , dessen Quadrat gleich 1 modulo n

Wo ich glaube, es sollte sagen:

dessen Quadrat kongruent , um 1 modulo n