Homomorfismos e isomorfismos en un cálculo equitativo

Question

Supongamos que tenemos una especificación algebraica en la forma: $ {s, f, w } $ donde $ s $ son los tipos, $ f $ son las funciones y $ w $ son el conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, la especificación de números naturales:

• $ S = { mathrm {int} } $
• $ F = {0: mathrm {int}, ; Mathrm {Succ}: mathrm {int} rectarrow mathrm {int}, ; Mathrm {pred}: mathrm {int} rectarrow mathrm {int} } $
• $ W = { Mathrm {Succ} ( Mathrm {pred} (x)) = x, ; Mathrm {pred} ( mathrm {succ} (x)) = x } $

Mi pregunta es, ¿por qué y dónde necesitamos homomorfismos e isomorfismos en este caso? ¿Cómo se ven los homomorfismos e isomorfismos entre las álgebras?

Answer 1

¿Puedes encontrar dos álgebras diferentes, por ejemplo, una en la que el dominio es $ mathbb {n} $ y uno donde el dominio es $ {0,1 } $ y en el primero, suc y pred ¿Trabajar como asumiría, y en este último, son operaciones de Modulo 2? Luego, trate de encontrar un homomorfismo de uno a otro.

Luego, trate de hacer un álgebra, donde el dominio es $ {0, S0, SS0, SSS0, dots } $ y define suc y pred Como supondrías. Haga un isomorfismo de este a uno con $ mathbb {n} $ como dominio.

Finalmente, puede hacer el "término álgebra", que tiene como dominio todas las cadenas que son válidas "términos", es decir: "0" está en el dominio, y por cada elemento $ t $ en el dominio ", Suc ($ t $) "está en el dominio, y" pred ($ t $) "está en el dominio. Su interpretación es simplemente que la constante 0 mapea a la cadena "0". El término pred(suc(suc(suc(0)))) mapas a la cadena "pred (suc (suc (suc (0))))". Ahora, es posible que tenga dificultades para hacer un isomorfismo desde esto hasta el álgebra estándar (el que tiene $ mathbb {n} $), ya que "0" y "pred (suc (0))" deben asignarse a 0.

No estoy seguro exactamente de lo que pides, pero estas dos tareas deberían comenzar, al menos.