¿Qué hace que las redes bayesianas se descompongan en árboles conjuntos?

Question

Dada una red bayesiana $ n $, se puede construir un cruce/árbol conjunto $ jt $ más de $ n $ aplicando una serie de pasos (a saber, moralización, triangulación ... ETC). Entonces podemos usar $ JT $ para responder consultas por más de $ N $.

Mi pregunta es: ¿Qué hace que BN se descomponga en $ JT $? La estructura (junto con los CPT) debe exhibir ciertas condiciones, de lo contrario, cualquier modelo gráfico es descomponible.

Answer 1

Encontré la respuesta en álgebra de valoración Más específicamente en este papel .
Asumen que el conjunto de funciones (es decir, tablas/relaciones/potenciales/distribuciones de probabilidad) forma un semigrupo conmutativo. Hay seis axiomas que el modelo/representación gráfico debe obedecer para usar cálculos locales (y por lo tanto, árboles conjuntos). El álgebra de valoración tiene tres operaciones:

1. Etiquetado: Mapeando cada potencial $ phi $ a su alcance $ d ( phi) $ (variables que lo definieron).
2. Combinación: Dos potenciales $ phi $ y $ psi $ se combinan a través del operador de combinación $ phi otimes psi $ (en bns $ otimes $ es la multiplicación de CPTS).
3. Marginación: El operador de proyección habitual (esto corresponde a sumar variables irrelevantes en BNS).

donde están los axiomas:

1. Semigrupo conmutativo: está claro que el conjunto de CPT representa un semigrupo conmutativo bajo el operador de combinación.
2. Etiquetado: por dos potenciales $ phi $ y $ psi $, $ d ( phi otimes psi) = d ( phi) cup d ( psi) $
3. Marginalización: $ d ( phi^{ downarrow x}) = x $ donde $ x subseteq d ( phi) $
4. Transitividad: $ ( phi^{{ downarrow y}})^{ downarrow x} = phi^{ downarrow x} $ donde $ x subseteq y subseteq d ( phi) $
5. Combinación: $ ( phi otimes psi)^{ downarrow z} = phi otimes psi^{ downarrow {z cap y}} $ donde $ d ( phi) = x, d ( psi ) = y $ y $ x subseteq z subseteq x cup y $
6. Dominio: $ phi^{ downarrow x} = phi $

Los axiomas están claramente satisfechos por la naturaleza de la multiplicación y la marginación sobre los BN CPT. Realmente no sé por qué Axiom 6 está allí. Perdón por abusar de algunas de las anotaciones.