Relación entre la expansión del gráfico y la conductancia

Question

Estoy bastante confundido sobre la relación exacta entre la expansión de un gráfico y su conductancia. Mi primera pregunta es:

• ¿Alguien podría señalarme una referencia que discute? ambas cosas de estas nociones? (He encontrado varias notas de conferencias sobre temas relacionados, pero estos parecen centrarse en la expansión o en conductancia ...)

He leído que la expansión de $ G $ es una medida para la velocidad de mezcla de una caminata aleatoria en $ G $, es decir, el tiempo para acercarse a la distribución estacionaria. Para un gráfico de $ D $ -regular con expansión constante, por ejemplo, el tiempo de mezcla es $ theta ( log n) $. Lo mismo parece ser cierto para la conductancia $ phi (g) $, es decir, si $ phi (g) $ es constante, entonces una caminata aleatoria en $ g $ también se mezclará $ theta ( log n) $ tiempo. Además, esta propiedad de conductancia se mantiene incluso en gráficos no regulares, y, por $ d $ -gráficos, la expansión de $ g $ se puede encontrar simplemente dividiendo la conductancia de $ g $ por $ d $. Esto plantea la siguiente pregunta:

• ¿Por qué deberíamos considerar la expansión de un gráfico $ G $, cuando la conductancia parece ser una medida más fuerte (que subsume la expansión)?