¿Tengo razón sobre las diferencias entre Floyd-Warshall, Dijkstra y Bellman-Ford Algorithms?

Question

He estado estudiando los tres y estoy diciendo mis inferencias de ellos a continuación. ¿Podría alguien decirme si los he entendido con precisión o no? Gracias.

1. El algoritmo de Dijkstra se usa solo cuando tiene una sola fuente y desea conocer el camino más pequeño de un nodo a otro, pero falla en casos como este

2. El algoritmo de Floyd-Warshall se usa cuando cualquiera de los nodos puede ser una fuente, por lo que desea que la distancia más corta alcance cualquier nodo de destino desde cualquier nodo de origen. Esto solo falla cuando hay ciclos negativos

(este es el más importante. Quiero decir, este es el que menos estoy seguro de :)

3.Bellman-Ford se usa como de Dijkstra, cuando solo hay una fuente. Esto puede manejar pesos negativos y su trabajo es el mismo que el de Floyd-Warshall, excepto por una fuente, ¿verdad?

Si necesita echar un vistazo, los algoritmos correspondientes son (cortesía Wikipedia):

Bellman-Ford:

 procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
   // This implementation takes in a graph, represented as lists of vertices
   // and edges, and modifies the vertices so that their distance and
   // predecessor attributes store the shortest paths.

   // Step 1: initialize graph
   for each vertex v in vertices:
       if v is source then v.distance := 0
       else v.distance := infinity
       v.predecessor := null

   // Step 2: relax edges repeatedly
   for i from 1 to size(vertices)-1:
       for each edge uv in edges: // uv is the edge from u to v
           u := uv.source
           v := uv.destination
           if u.distance + uv.weight < v.distance:
               v.distance := u.distance + uv.weight
               v.predecessor := u

   // Step 3: check for negative-weight cycles
   for each edge uv in edges:
       u := uv.source
       v := uv.destination
       if u.distance + uv.weight < v.distance:
           error "Graph contains a negative-weight cycle"

DIJKSTRA:

 1  function Dijkstra(Graph, source):
 2      for each vertex v in Graph:                                // Initializations
 3          dist[v] := infinity ;                                  // Unknown distance function from 
 4                                                                 // source to v
 5          previous[v] := undefined ;                             // Previous node in optimal path
 6                                                                 // from source
 7      
 8      dist[source] := 0 ;                                        // Distance from source to source
 9      Q := the set of all nodes in Graph ;                       // All nodes in the graph are
10                                                                 // unoptimized - thus are in Q
11      while Q is not empty:                                      // The main loop
12          u := vertex in Q with smallest distance in dist[] ;    // Start node in first case
13          if dist[u] = infinity:
14              break ;                                            // all remaining vertices are
15                                                                 // inaccessible from source
16          
17          remove u from Q ;
18          for each neighbor v of u:                              // where v has not yet been 
19                                                                                 removed from Q.
20              alt := dist[u] + dist_between(u, v) ;
21              if alt < dist[v]:                                  // Relax (u,v,a)
22                  dist[v] := alt ;
23                  previous[v] := u ;
24                  decrease-key v in Q;                           // Reorder v in the Queue
25      return dist;

floyd-warshall:

 1 /* Assume a function edgeCost(i,j) which returns the cost of the edge from i to j
 2    (infinity if there is none).
 3    Also assume that n is the number of vertices and edgeCost(i,i) = 0
 4 */
 5
 6 int path[][];
 7 /* A 2-dimensional matrix. At each step in the algorithm, path[i][j] is the shortest path
 8    from i to j using intermediate vertices (1..k−1).  Each path[i][j] is initialized to
 9    edgeCost(i,j).
10 */
11
12 procedure FloydWarshall ()
13    for k := 1 to n
14       for i := 1 to n
15          for j := 1 to n
16             path[i][j] = min ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] );

Answer 1

Usted es correcto sobre las dos primeras preguntas, y sobre el objetivo de Floyd-Warshall (encontrando los caminos más cortos entre todos los pares), pero no sobre la relación entre Bellman-Ford y Floyd-Warshall: ambos algoritmos usan programación dinámica para Encuentre la ruta más corta, pero FW no es lo mismo que ejecutar BF de cada nodo de inicio a cada otro nodo.

En BF, la pregunta es: cuál es la ruta más corta de la fuente al objetivo utilizando a la mayoría de los pasos K, y el tiempo de ejecución es O (E V). Si tuviéramos que ejecutarlo entre sí, el tiempo de ejecución sería O (E V ^ 2).

En FW, la pregunta es: ¿Cuál es el camino más corto de I a J a K, para todos los nodos i, j, k? Esto conduce a O (v ^ 3) Tiempo de ejecución: mejor que BF para cada nodo de inicio (por un factor de hasta | V | para gráficos densos).

Una nota más sobre los ciclos / pesos negativos: DIJKSTRA puede simplemente dejar de dar los resultados correctos. BF y FW no fallarán: afirmarán correctamente que no hay un camino de peso mínimo, ya que el peso negativo está ileso.

Answer 2

Rutas más cortas de la fuente única:

algoritmo dijkstra - No se permite un peso negativo - O (E + VLG (V))

Bellman Ford Algoritmo - Se permite el peso negativo.Pero si un ciclo negativo es el presente, Bellman Ford detectará el ciclo -VE-O (VE)

Gráfico acíclico dirigido: como su nombre sugiere que funciona solo para DAG - O (V + E)

Todos los pares Rutas más cortas:

algoritmo dijkstra - No se permite un peso negativo - O (ve + v ^ 2lg (v))

Bellman Ford Algorithm - O (V ^ 2E)

Método de multiplicación de cadena de matriz -Complexity Igual que Bellman Ford Algorithm

Algoritmo de Warshall de Floyd: Método de programación dinámica: la complejidad es O (v ^ 3)