Probabilidad de seleccionar un conjunto particular, muestreando sin reemplazo de una distribución categórica

Question

Supongamos que tengo una distribución categórica en artículos $ 1, \ puntos, n $ , que asigna probabilidad $ p_i $ < / SPAN> A ITEM $ i $ . Ahora muestra repetidamente de esta distribución, hasta que haya obtenido $ k $ objetos únicos. Me gustaría calcular la probabilidad de que el conjunto de objetos obtenidos sea exactamente $ \ {1, \ puntos, k \} $ .

¿Existe una forma eficiente de calcular esta probabilidad, dado $ p_1, \ puntos, p_n $ y $ k $ ?

Puedo ver que la probabilidad tiene el formulario

$$ p=sum_ \ sigma \ prod_ {i= 1} ^ k {p _ {\ sigma (i)} \ Over (1-P _ {\ sigma (1 )}) \ CDOTS (1-P _ {\ SIGMA (1)} - \ DOTS-P _ {\ SIGMA (I-1)})}, $$ donde la suma está sobre todas las permutaciones $ \ sigma \ en s_k $ en $ \ {1, \ dots, k \} $ . (Aquí, $ \ sigma $ representa el orden en que se seleccionan los artículos $ 1, \ dots, k $ se seleccionan . Sin embargo, esta fórmula para la probabilidad implica $ k! $ Términos, por lo que computar la probabilidad de esta manera tomaría tiempo exponencial en $ k $ . ¿Hay una forma más eficiente de calcularlo?

Por supuesto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir $ n= k + 1 $ .

Answer 1

para cada $ \ sigma \ subesteqq [k + 1] $ , puede calcular la probabilidad $ q (\SIGMA) $ que el primer $ | \ sigma | $ elementos para aparecer son $ \ sigma $ Uso de la siguiente recurrencia: $ q (\ vacioset)= 1 $ y cuando $ \ sigma \ neq \ vacioset $, $$ Q (\ SIGMA)=SUM _ {\ SIGMA \ IN \ SIGMA} Q (\ SIGMA- \ SIGMA) \ FRAC {P_ \ SIGMA} {P_ \ SIGMA + \ SUM _ {\ TAU \ Notin \ Sigma} P_ \ TAU}. $$ Usted está interesado en $ q ([k]) $ .El tiempo total de cálculo es $ o (k2 ^ k) $ (ignorando aritmética), si califica la suma en el denominador en tándem.Tal vez esto podría mejorarse a $ o (2 ^ k) $ .