Expresando funciones utilizando el diccionario aritmético.

Question

He visto en la clase "Lógica a CS" que tomo, un teorema que afirma: "Cada función recursiva (computable (computable) $ f $ se puede expresar usandoel diccionario aritmético { $ c_0, c_1, f _ + (,), f_x (,), r_ \ le (,) $ } con la estructura { $ D=MATHBB {N}, C_0= 0, C_1= 1, F _ + (A, B)= A + B, F_X (A, B)= AB, R_ \ LE (A,b)= A \ le B $ } "

Pero no probamos este teorema porque una parte de los estudiantes no tomó el curso "modelos computacionales" (aunque lo tomé)

¿Dónde puedo encontrar una prueba para este teorema?¡Gracias de antemano!

Answer 1

No estoy seguro de que esto es exactamente lo que está buscando, pero puede encontrar lo que desea en el teorema 3.2.1 de Teoría de la computabilidad por S. Barry Cooper:

Todas las funciones recursivas son representables en PA.

es para cualquier función recursiva $ f $ , existe un predicado binario $ f $ en El lenguaje de la aritmética de tal manera que para cualquier número natural $ x $ y $ y $ tenemos $$ F (x)= y ~ \ rudotrow ~ \ vdash_ {pa} f (x, y) $$ y $$ F (x) \ NEQ Y ~ \ RUDARLOW ~ \ Vdash_ {PA} \ LNOT F (X, Y) $$ donde $ \ vdash_ {pa} $ significa 'PA demuestra'.

Este teorema es fundamental para el famoso theorem de Gödel , por lo que es posible que también desee echar un vistazo a Ch. 8 del libro mencionado donde se discute, y esta noción de "representabilidad" se extiende a la "semi-representabilidad", para incluir el C.E. se establece también.