Homomorphismes et isomorphismes dans un calcul equational

Question

Supposons que nous ayons une spécification algébrique sous la forme: $ \ {S, F, w \} $ où $ S $ sont les sortes, $ F $ sont les fonctions et $ w $ sont l'ensemble des équations. Par exemple, la spécification des nombres naturels:

• $ S = \ {\ mathrm {int} \} $
• $ F = \ { 0: \ mathrm {int}, \; \ Mathrm {} succ: \ mathrm {int} \ rightarrow \ mathrm {int}, \; \ Mathrm {} pred: \ mathrm {int} \ rightarrow \ mathrm {int} \} $
• $ w = \ { \ Mathrm {succ} (\ mathrm {pred} (x)) = x, \; \ Mathrm {} pred (\ mathrm {} succ (x)) = x \} $

Ma question est, pourquoi et où avons-nous besoin homomorphismes et isomorphismes dans ce cas? Comment homomorphismes et isomorphismes ressemblent entre algèbres?

Answer 1

Pouvez-vous venir avec deux algèbres différentes, par exemple, celui où le domaine est $ \ mathbb {N} $ et celui où le domaine est $ \ {0,1 \} $ et dans l'ancien, et le travail de suc pred comme vous le feriez supposer, et dans ce dernier, ils sont modulo 2 opérations? Ensuite, essayez de trouver un homomorphisme d'un à l'autre.

Ensuite, essayez de faire une algèbre, où le domaine est $ \ {0, s0, SS0, sss0, \ points \} $ et définir suc et pred que vous devinez. Faire un isomorphisme de celui-ci à celui avec $ \ mathbb {N} $ comme domaine.

Enfin, vous pouvez faire de la « algèbre terme », qui a comme domaine toutes les chaînes qui sont valides « termes », à savoir: « 0 » est dans le domaine, et pour chaque élément $ t $ dans le domaine, « Suc ($ t $) » est dans le domaine, et "pred ($ t $)" est dans le domaine. Leur interprétation est tout simplement que la 0 constante des cartes à la chaîne « 0 ». Le terme pred(suc(suc(suc(0)))) cartes à la chaîne "pred (Suc (Suc (Suc (0))))". Maintenant, vous pourriez avoir du mal à faire un isomorphisme de ce à l'algèbre standard (celle avec $ \ mathbb {N} $), étant donné que « 0 » et « pred (Suc (0)) » devrait à la fois carte à 0.

Je ne sais pas exactement ce que vous demandez, mais ces deux tâches devraient vous aider à démarrer, au moins.