Promenade aléatoire sur la ligne entière

Question

Supposons que nous fassions une promenade aléatoire sur la ligne entière infinie et que nous prenons des étapes totales de 2 $. À chaque étape de cette promenade, la position du marcheur est un point entier sur cette ligne. Pour la prochaine étape de cette promenade, le marcheur se déplace vers l'un des deux points entiers adjacents / voisins avec une probabilité égale (supposons que nous commençons à entier 0). Soit $ s_l $ et $ s_r $ variables aléatoires désignant le nombre de marches vers la gauche et les étapes vers la droite effectuées sur toute la marche de 2 $ $ -STEP, respectivement.

Il y a deux choses que je voudrais montrer:

(1): Pour tout $ t> 0 $, il existe un $ constant $ c> 0 $ tel que pr $ [| s_l - s_r | > c sqrt {n}] leq t $.

(2): dériver une limite sur $ beta $ étant donné que Pr $ [| s_l - s_r | > beta] geq 1 - frac {1} {n} $ (c'est-à-dire, trouvez une limite sur $ bêta $ qui nous donne une garantie de probabilité élevée).

Une approche que je considère est que nous pouvons prendre $ | s_l - s_r | $ en tant que variable aléatoire $ d_ {2n} $ dénotant la distance de l'origine après les étapes de $ $ $. Nous pouvons maintenant calculer $ e [d_ {2n}] approx sqrt { frac {2} { pi}} sqrt {2n} $. J'imagine qu'à ce stade, je devrais soit appliquer une liaison de Cheroff ou l'inégalité de Chebyshev, mais je ne sais pas comment s'appliquer non plus dans ce contexte.