Homomorphisme sous-linéaire Test de test de test Exemple

Question

Il s'agit d'une question de devoirs, donc je ne cherche pas de réponses, juste des conseils généraux.

Je regarde une enquête sous-linéaire sur les algorithmes où les tests de propriétés (groupes) de l'homomorphisme sont discutés. Le cas des homomorphismes de $ Left ( mathbb {z} _ {n}, + droite) $ à $ Left ( mathbb {z} _ {n}, + droite) $ (où + est l'ajout de modulo) en particulier.

Depuis $$ f: mathbb {z} _ {n} à mathbb {z} _ {n} is a homomorphisme iff forall x in mathbb {z} _ {n}: f f gauche (x + 1 droite) equiv_ {n} f gauche (x droite) + f gauche (1 droite) $$(J'ai réussi à le prouver), il est suggéré à un test de propriété $ f gauche (x + 1 droite) equiv_ {n} f gauche (x droite) + f gauche (1 droite) $.

Pour contrer cette suggestion, il est dit que pour un $ n $, $$ f: begin {array} {lll} mathbb {z} _ {n} & to & mathbb {z} _ {n} x & mapsto & x Left (mod Left lceil sqrt {n} droite rceil droite) end {array} $$ maintient $ f gauche (x + 1 droite) equiv_ {n} f gauche (x droite) + f gauche (1 droite) $ pour $ 1- frac {1} { sqrt {n}} $ fraction du $ x in mathbb {z} _ {n} $ (a réussi à le prouver), mais que $ f $ est $ 1- frac {1} { sqrt {n}} $-far de tout homomorphisme (où $ epsilon $-far signifie que pour retirer un homomorphisme $ f $ Nous devons changer au moins $ epsilon n $ sorties de $ f $).

On nous demande de montrer un contre-exemple d'une fonction qui passe le test pour 1 1-o gauche (1 à droite) $ fraction des entrées, mais est $ frac {1} {100} $-far des homomorphismes, ce qui est un peu plus facile.

Alors je voulais montrer $ f $ comme mon exemple. J'ai réussi à prouver ce que j'ai écrit jusqu'à présent, mais j'essaie toujours de prouver $ f $ est $ 1- frac {1} { sqrt {n}} $-loin.

Ce que j'ai essayé:

Supposer par contradiction que $ delta gauche (f droite) (où $ delta gauche (f droite) $ est la distance des homomorphismes), c'est-à-dire qu'il existe $ h $, un homomorphisme, avec moins de $ n- sqrt {n} $ différent (par rapport à $ f $) les sorties.

J'ai divisé en 2 cas.

Le premier cas est $ h gauche (1 droite) = f gauche (1 droite) $ ce qui signifie $ h gauche (1 à droite) = 1 $. Il est facile d'obtenir une contradiction de cette façon, car il existe $ x> sqrt {n} $ tel que $ h gauche (x droite) = f gauche (x droite) $ (sinon, contradiction avec $ delta gauche (f droite)). Depuis $ h $ est un homomorphisme, nous obtenons $$ H Left (x droite) = Underme } { sum}} 1 = x neq f gauche (x droite) $$

Maintenant l'autre cas où $ h gauche (1 droite) neq f gauche (1 droite) $ c'est là que je suis coincé. Il est difficile pour moi d'obtenir l'intuition car apparemment, ce n'est pas vrai pour grand $ n $'S, ce qui rend difficile l'examen des exemples de base. Je ne suis même pas sûr que diviser ces cas est la meilleure approche et j'aimerais une aide. Merci!

Éditer:

Comme demandé, un lien vers le Enquête par Ronitt Rubinfeld. A seulement réussi à le trouver au format PS.