Négation de la sémantique de l'opérateur de Till en LTL

Question

J'ai consulté l'opérateur jusqu'à l'opérateur de libération et lorsqu'il est présenté à l'opérateur de libération, il a été suggéré qu'il était équivalent à:

$ phi r psi equiv neg ( neg phi u neg psi) $

Mais lorsque vous essayez de passer de la définition sémantique de l'opérateur jusqu'à la définition sémantique de l'opérateur de version par négation, je suis coincé à mi-chemin. Plus précisément, je suis coincé à essayer de nier un $ forall j <i $ Expression comme je vais le montrer ci-dessous.

Ainsi, la définition sémantique de jusqu'à:

$ pi modèles phi u psi iff existant i geq0, pi [i] modèles psi land forall j leq i-1, pi [j] modèles phi $

Mettre les négations dans:

dollars [j] modèles neg phi) $

dollars

dollars

En mots, je me retrouve avec mondialement $ psi $ ou à l'échelle mondiale, il existe toujours un prédécesseur qui satisfait $ phi $. Qui ne peut pas être correct comme $ pi [j] $ n'est pas défini quand $ i = 0 $.

La définition sémantique de l'opérateur de version que je visais est:

$ pi modèles phi r psi iff ( existant i geq 0, pi [i] modèles phi land forall j leq i, pi [j] modèles psi) lor ( Forall k geq 0, pi [k] modèles psi) $

J'ai donc une partie de l'expression correcte ($ forall k geq 0, pi [k] modèles psi equiv forall i geq 0, ( pi [i] modèles psi) $), mais je suis vraiment perplexe sur la façon d'obtenir la deuxième partie ou où je me suis trompé.

Toute aide à m'éclairer est grandement appréciée!

Merci!