Introduction aux algorithmes (CLRS) Ex 5.2-5

Question

Ce qui suit est Ex 5.2-5 à partir d'introduction aux algorithmes (CLR), 2e édition.

Laisser $ A [1 ... n] $ être un tableau de n nombres distincts. Si $ i et $ A [i]> a [j] $, puis la paire $ (i, j) $ est appelé une inversion de $ A $. Supposons que les éléments de $ A $ former une permutation aléatoire uniforme de $ <1, ..., n> $. Utilisez des variables aléatoires de l'indicateur pour calculer le nombre attendu d'inversions.

La solution de https://walkccc.github.io/clrs/chap05/5.2/ dit:

Laisser $ X_ {ij} $ être une variable aléatoire d'indicateur pour l'événement où la paire $ A [i], a [j] $ pour $ i <j $ est inversé. Nous avons $ Pr {x_ {ij} = 1 } = frac {1} {2} $, car compte tenu de deux nombres aléatoires distincts, la probabilité que la première soit plus grande que la seconde est $ frac {1} {2} $.

Je voudrais demander quelle est la justification $ Pr {x_ {ij} = 1 } = frac {1} {2} $. Je sais qu'il ne peut y avoir que 2 résultats, soit être $ X_ {ij} = 1 $ ou $ X_ {ij} = 0 $. Aussi, $ Pr {x_ {ij} = 1 } + pr {x_ {ij} = 0 } = 1 $.

Après avoir regardé la réponse, cela a un sens, mais je voudrais demander s'il existe un moyen plus "systématique" de dériver / justifier cette probabilité. Notez que je suis très vague sur le sens de la systématique car je voudrais simplement avoir une manière plus fiable de dériver cette probabilité plutôt que de ne s'appuyer que sur l'intuition.