Question

Je recherche le moyen le plus rapide d'obtenir la valeur de π, comme défi personnel.Plus précisément, j'utilise des moyens qui n'impliquent pas l'utilisation #define des constantes comme M_PI, ou coder en dur le numéro.

Le programme ci-dessous teste les différentes méthodes que je connais.La version d'assemblage en ligne est, en théorie, l'option la plus rapide, même si elle n'est clairement pas portable.Je l'ai inclus comme référence pour comparer avec les autres versions.Dans mes tests, avec les intégrés, le 4 * atan(1) est la plus rapide sur GCC 4.2, car elle replie automatiquement le atan(1) en une constante.Avec -fno-builtin précisé, le atan2(0, -1) la version est la plus rapide.

Voici le programme de test principal (pitimes.c):

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

#define ITERS 10000000
#define TESTWITH(x) {                                                       \
    diff = 0.0;                                                             \
    time1 = clock();                                                        \
    for (i = 0; i < ITERS; ++i)                                             \
        diff += (x) - M_PI;                                                 \
    time2 = clock();                                                        \
    printf("%s\t=> %e, time => %f\n", #x, diff, diffclock(time2, time1));   \
}

static inline double
diffclock(clock_t time1, clock_t time0)
{
    return (double) (time1 - time0) / CLOCKS_PER_SEC;
}

int
main()
{
    int i;
    clock_t time1, time2;
    double diff;

    /* Warmup. The atan2 case catches GCC's atan folding (which would
     * optimise the ``4 * atan(1) - M_PI'' to a no-op), if -fno-builtin
     * is not used. */
    TESTWITH(4 * atan(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))

#if defined(__GNUC__) && (defined(__i386__) || defined(__amd64__))
    extern double fldpi();
    TESTWITH(fldpi())
#endif

    /* Actual tests start here. */
    TESTWITH(atan2(0, -1))
    TESTWITH(acos(-1))
    TESTWITH(2 * asin(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))
    TESTWITH(4 * atan(1))

    return 0;
}

Et les trucs d'assemblage en ligne (fldpi.c) qui ne fonctionnera que pour les systèmes x86 et x64 :

double
fldpi()
{
    double pi;
    asm("fldpi" : "=t" (pi));
    return pi;
}

Et un script de build qui construit toutes les configurations que je teste (build.sh):

#!/bin/sh
gcc -O3 -Wall -c           -m32 -o fldpi-32.o fldpi.c
gcc -O3 -Wall -c           -m64 -o fldpi-64.o fldpi.c

gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m32 -o pitimes1-32 pitimes.c fldpi-32.o
gcc -O3 -Wall              -m32 -o pitimes2-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m32 -o pitimes3-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m64 -o pitimes1-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall              -m64 -o pitimes2-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m64 -o pitimes3-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm

Outre les tests entre différents indicateurs du compilateur (j'ai également comparé 32 bits à 64 bits car les optimisations sont différentes), j'ai également essayé de changer l'ordre des tests.Mais quand même, le atan2(0, -1) la version arrive toujours en tête à chaque fois.

Était-ce utile?

La solution

Le Méthode Monte Carlo, comme mentionné, applique d'excellents concepts mais ce n'est clairement pas le plus rapide, ni de loin, ni par aucune mesure raisonnable.De plus, tout dépend du type de précision que vous recherchez.Le π le plus rapide que je connaisse est celui avec les chiffres codés en dur.Regarder Pi et Pi[PDF], il existe beaucoup de formules.

Voici une méthode qui converge rapidement — environ 14 chiffres par itération. PiFast, l'application la plus rapide actuelle, utilise cette formule avec la FFT.Je vais juste écrire la formule, puisque le code est simple.Cette formule a été presque trouvée par Ramanujan et découvert par Chudnovsky.C’est en fait ainsi qu’il a calculé plusieurs milliards de chiffres du nombre – ce n’est donc pas une méthode à ignorer.La formule débordera vite et, puisqu'on divise des factorielles, il serait alors avantageux de retarder ces calculs pour supprimer des termes.

enter image description here

enter image description here

où,

enter image description here

Ci-dessous se trouve le Algorithme Brent-Salamine.Wikipédia mentionne que lorsque un et b sont "assez proches" alors (a + b)² / 4t sera une approximation de π.Je ne suis pas sûr de ce que signifie "assez proche", mais d'après mes tests, une itération a eu 2 chiffres, deux en ont eu 7 et trois en ont 15, bien sûr, c'est avec des doubles, donc il peut y avoir une erreur basée sur sa représentation et le vrai le calcul pourrait être plus précis.

let pi_2 iters =
    let rec loop_ a b t p i =
        if i = 0 then a,b,t,p
        else
            let a_n = (a +. b) /. 2.0 
            and b_n = sqrt (a*.b)
            and p_n = 2.0 *. p in
            let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in
            loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1)
    in 
    let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in
    (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t)

Enfin, que diriez-vous d'un peu de pi golf (800 chiffres) ?160 caractères !

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Autres conseils

J'aime beaucoup ce programme, car il se rapproche de π en regardant sa propre aire.

IOCCC 1988 : westley.c

#define _ -F<00||--F-OO--;
int F=00,OO=00;main(){F_OO();printf("%1.3f\n",4.*-F/OO/OO);}F_OO()
{
            _-_-_-_
       _-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
        _-_-_-_-_-_-_-_
            _-_-_-_
}

Voici une description générale d'une technique de calcul de pi que j'ai apprise au lycée.

Je partage cela uniquement parce que je pense que c'est assez simple pour que tout le monde puisse s'en souvenir indéfiniment, et en plus, cela vous enseigne le concept des méthodes "Monte-Carlo" - qui sont des méthodes statistiques permettant d'arriver à des réponses qui ne semblent pas immédiatement être les mêmes. déductibles par des processus aléatoires.

Dessinez un carré et inscrivez un quadrant (un quart de demi-cercle) à l'intérieur de ce carré (un quadrant de rayon égal au côté du carré, afin qu'il remplisse autant de carré que possible)

Maintenant, lancez une fléchette sur le carré et notez où elle atterrit, c'est-à-dire choisissez un point aléatoire n'importe où à l'intérieur du carré.Bien sûr, il a atterri à l’intérieur du carré, mais est-il à l’intérieur du demi-cercle ?Enregistrez ce fait.

Répétez ce processus plusieurs fois – et vous constaterez qu’il existe un rapport entre le nombre de points à l’intérieur du demi-cercle et le nombre total lancé, appelez ce rapport x.

Puisque l’aire du carré est r fois r, vous pouvez en déduire que l’aire du demi-cercle est x fois r fois r (c’est-à-dire x fois r au carré).Par conséquent, x fois 4 vous donnera pi.

Ce n’est pas une méthode rapide à utiliser.Mais c'est un bel exemple de méthode Monte Carlo.Et si vous regardez autour de vous, vous constaterez peut-être que de nombreux problèmes qui autrement échapperaient à vos compétences informatiques peuvent être résolus par de telles méthodes.

Par souci d'exhaustivité, une version de modèle C++, qui, pour une construction optimisée, calculera une approximation de PI au moment de la compilation et sera intégrée à une valeur unique.

#include <iostream>

template<int I>
struct sign
{
    enum {value = (I % 2) == 0 ? 1 : -1};
};

template<int I, int J>
struct pi_calc
{
    inline static double value ()
    {
        return (pi_calc<I-1, J>::value () + pi_calc<I-1, J+1>::value ()) / 2.0;
    }
};

template<int J>
struct pi_calc<0, J>
{
    inline static double value ()
    {
        return (sign<J>::value * 4.0) / (2.0 * J + 1.0) + pi_calc<0, J-1>::value ();
    }
};


template<>
struct pi_calc<0, 0>
{
    inline static double value ()
    {
        return 4.0;
    }
};

template<int I>
struct pi
{
    inline static double value ()
    {
        return pi_calc<I, I>::value ();
    }
};

int main ()
{
    std::cout.precision (12);

    const double pi_value = pi<10>::value ();

    std::cout << "pi ~ " << pi_value << std::endl;

    return 0;
}

Notez que pour I > 10, les builds optimisés peuvent être lents, de même pour les exécutions non optimisées.Pour 12 itérations, je crois qu'il y a environ 80 000 appels à value() (en l'absence de mémorisation).

Il existe en fait un livre entier dédié (entre autres) à rapide méthodes pour le calcul de \pi :"Pi et l'AGA", par Jonathan et Peter Borwein (disponible sur Amazon).

J'ai beaucoup étudié l'AGM et les algorithmes associés :c'est assez intéressant (bien que parfois non trivial).

Notez que pour implémenter la plupart des algorithmes modernes pour calculer \pi, vous aurez besoin d'une bibliothèque arithmétique multiprécision (BPF est un assez bon choix, même si cela fait un moment que je ne l'ai pas utilisé).

La complexité temporelle des meilleurs algorithmes est en O(M(n)log(n)), où M(n) est la complexité temporelle pour la multiplication de deux entiers de n bits (M(n)=O(n log(n) log(log(n))) en utilisant des algorithmes basés sur la FFT, qui sont généralement nécessaires lors du calcul des chiffres de \pi, et un tel algorithme est implémenté dans GMP).

Notez que même si les mathématiques derrière les algorithmes ne sont pas triviales, les algorithmes eux-mêmes sont généralement constitués de quelques lignes de pseudo-code, et leur implémentation est généralement très simple (si vous choisissez de ne pas écrire votre propre arithmétique multiprécision :-) ).

Les réponses suivantes précisément comment faire cela de la manière la plus rapide possible - avec le moins d'effort informatique.Même si la réponse ne vous plaît pas, vous devez admettre que c'est effectivement le moyen le plus rapide d'obtenir la valeur de PI.

Le LE PLUS RAPIDE La façon d’obtenir la valeur de Pi est la suivante :

1) Choisissez votre langage de programmation préféré 2) Chargez sa bibliothèque mathématique 3) et trouvez que Pi y est déjà défini - prêt à l'emploi!

Si vous n'avez pas de bibliothèque mathématique à portée de main.

Le DEUXIÈME PLUS RAPIDE manière (solution plus universelle) est la suivante :

recherchez Pi sur Internet, par ex.ici:

http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000 (1 million de chiffres ..quelle est votre précision en virgule flottante ?)

ou ici:

http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/

ou ici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Il est très rapide de trouver les chiffres dont vous avez besoin pour l'arithmétique de précision que vous souhaitez utiliser, et en définissant une constante, vous pouvez vous assurer de ne pas perdre un temps processeur précieux.

Non seulement c'est une réponse en partie humoristique, mais en réalité, si quelqu'un voulait bien calculer la valeur de Pi dans une application réelle ..ce serait une grosse perte de temps CPU, n'est-ce pas ?Au moins, je ne vois pas de réelle application pour essayer de recalculer cela.

Cher modérateur :veuillez noter que le PO a demandé :"Le moyen le plus rapide d'obtenir la valeur de PI"

Le Formule BBP vous permet de calculer le nième chiffre - en base 2 (ou 16) - sans même avoir à vous soucier d'abord des n-1 chiffres précédents :)

Au lieu de définir pi comme constante, j'utilise toujours acos(-1).

Je viens de tomber sur celui-ci qui devrait être ici pour être complet :

calculer PI en Piet

Il a la propriété plutôt intéressante que la précision peut être améliorée en agrandissant le programme.

Icivoici un aperçu de la langue elle-même

Si Cet article est vrai, alors le algorithme que Bellard a créé pourrait être l’un des plus rapides disponibles.Il a créé pi à 2,7 TRILLIONS de chiffres à l'aide d'un PC DE BUREAU !

...et il a publié son travaille ici

Bon travail Bellard, tu es un pionnier !

http://www.theregister.co.uk/2010/01/06/very_long_pi/

Il s’agit d’une méthode « classique », très simple à mettre en œuvre.Cette implémentation, en python (langage pas si rapide) le fait :

from math import pi
from time import time


precision = 10**6 # higher value -> higher precision
                  # lower  value -> higher speed

t = time()

calc = 0
for k in xrange(0, precision):
    calc += ((-1)**k) / (2*k+1.)
calc *= 4. # this is just a little optimization

t = time()-t

print "Calculated: %.40f" % calc
print "Costant pi: %.40f" % pi
print "Difference: %.40f" % abs(calc-pi)
print "Time elapsed: %s" % repr(t)

Vous pouvez trouver plus d'informations ici.

Quoi qu'il en soit, le moyen le plus rapide d'obtenir une valeur précise de pi autant que vous le souhaitez en python est :

from gmpy import pi
print pi(3000) # the rule is the same as 
               # the precision on the previous code

voici le morceau de source de la méthode gmpy pi, je ne pense pas que le code soit aussi utile que le commentaire dans ce cas :

static char doc_pi[]="\
pi(n): returns pi with n bits of precision in an mpf object\n\
";

/* This function was originally from netlib, package bmp, by
 * Richard P. Brent. Paulo Cesar Pereira de Andrade converted
 * it to C and used it in his LISP interpreter.
 *
 * Original comments:
 * 
 *   sets mp pi = 3.14159... to the available precision.
 *   uses the gauss-legendre algorithm.
 *   this method requires time o(ln(t)m(t)), so it is slower
 *   than mppi if m(t) = o(t**2), but would be faster for
 *   large t if a faster multiplication algorithm were used
 *   (see comments in mpmul).
 *   for a description of the method, see - multiple-precision
 *   zero-finding and the complexity of elementary function
 *   evaluation (by r. p. brent), in analytic computational
 *   complexity (edited by j. f. traub), academic press, 1976, 151-176.
 *   rounding options not implemented, no guard digits used.
*/
static PyObject *
Pygmpy_pi(PyObject *self, PyObject *args)
{
    PympfObject *pi;
    int precision;
    mpf_t r_i2, r_i3, r_i4;
    mpf_t ix;

    ONE_ARG("pi", "i", &precision);
    if(!(pi = Pympf_new(precision))) {
        return NULL;
    }

    mpf_set_si(pi->f, 1);

    mpf_init(ix);
    mpf_set_ui(ix, 1);

    mpf_init2(r_i2, precision);

    mpf_init2(r_i3, precision);
    mpf_set_d(r_i3, 0.25);

    mpf_init2(r_i4, precision);
    mpf_set_d(r_i4, 0.5);
    mpf_sqrt(r_i4, r_i4);

    for (;;) {
        mpf_set(r_i2, pi->f);
        mpf_add(pi->f, pi->f, r_i4);
        mpf_div_ui(pi->f, pi->f, 2);
        mpf_mul(r_i4, r_i2, r_i4);
        mpf_sub(r_i2, pi->f, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, ix);
        mpf_sub(r_i3, r_i3, r_i2);
        mpf_sqrt(r_i4, r_i4);
        mpf_mul_ui(ix, ix, 2);
        /* Check for convergence */
        if (!(mpf_cmp_si(r_i2, 0) && 
              mpf_get_prec(r_i2) >= (unsigned)precision)) {
            mpf_mul(pi->f, pi->f, r_i4);
            mpf_div(pi->f, pi->f, r_i3);
            break;
        }
    }

    mpf_clear(ix);
    mpf_clear(r_i2);
    mpf_clear(r_i3);
    mpf_clear(r_i4);

    return (PyObject*)pi;
}

MODIFIER: J'ai eu quelques problèmes avec le copier-coller et l'identification, de toute façon vous pouvez trouver la source ici.

Si par plus rapide vous entendez le plus rapide à saisir le code, voici le script de golf solution:

;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\;

Utilisez la formule de type Machine

176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) 

[; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943}\right) ;], for you TeX the World people.

Implémenté dans Scheme, par exemple :

(+ (- (+ (* 176 (atan (/ 1 57))) (* 28 (atan (/ 1 239)))) (* 48 (atan (/ 1 682)))) (* 96 (atan (/ 1 12943))))

Si vous êtes prêt à utiliser une approximation, 355 / 113 convient pour 6 chiffres décimaux et présente l'avantage supplémentaire d'être utilisable avec des expressions entières.Ce n'est plus aussi important de nos jours, car le "coprocesseur mathématique à virgule flottante" a cessé d'avoir du sens, mais c'était assez important autrefois.

Avec les doubles :

4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0))

Ce sera précis jusqu'à 14 décimales, suffisamment pour remplir un double (l'inexactitude est probablement due au fait que le reste des décimales dans les arcs tangents sont tronqués).

Seth aussi, c'est 3.141592653589793238463, pas 64.

Calculez PI au moment de la compilation avec D.

(Copié de DSource.org )

/** Calculate pi at compile time
 *
 * Compile with dmd -c pi.d
 */
module calcpi;

import meta.math;
import meta.conv;

/** real evaluateSeries!(real x, real metafunction!(real y, int n) term)
 *
 * Evaluate a power series at compile time.
 *
 * Given a metafunction of the form
 *  real term!(real y, int n),
 * which gives the nth term of a convergent series at the point y
 * (where the first term is n==1), and a real number x,
 * this metafunction calculates the infinite sum at the point x
 * by adding terms until the sum doesn't change any more.
 */
template evaluateSeries(real x, alias term, int n=1, real sumsofar=0.0)
{
  static if (n>1 && sumsofar == sumsofar + term!(x, n+1)) {
     const real evaluateSeries = sumsofar;
  } else {
     const real evaluateSeries = evaluateSeries!(x, term, n+1, sumsofar + term!(x, n));
  }
}

/*** Calculate atan(x) at compile time.
 *
 * Uses the Maclaurin formula
 *  atan(z) = z - z^3/3 + Z^5/5 - Z^7/7 + ...
 */
template atan(real z)
{
    const real atan = evaluateSeries!(z, atanTerm);
}

template atanTerm(real x, int n)
{
    const real atanTerm =  (n & 1 ? 1 : -1) * pow!(x, 2*n-1)/(2*n-1);
}

/// Machin's formula for pi
/// pi/4 = 4 atan(1/5) - atan(1/239).
pragma(msg, "PI = " ~ fcvt!(4.0 * (4*atan!(1/5.0) - atan!(1/239.0))) );

Pi vaut exactement 3 ![Prof.Frink (Les Simpsons)]

Blague, mais en voici une en C# (.NET-Framework requis).

using System;
using System.Text;

class Program {
    static void Main(string[] args) {
        int Digits = 100;

        BigNumber x = new BigNumber(Digits);
        BigNumber y = new BigNumber(Digits);
        x.ArcTan(16, 5);
        y.ArcTan(4, 239);
        x.Subtract(y);
        string pi = x.ToString();
        Console.WriteLine(pi);
    }
}

public class BigNumber {
    private UInt32[] number;
    private int size;
    private int maxDigits;

    public BigNumber(int maxDigits) {
        this.maxDigits = maxDigits;
        this.size = (int)Math.Ceiling((float)maxDigits * 0.104) + 2;
        number = new UInt32[size];
    }
    public BigNumber(int maxDigits, UInt32 intPart)
        : this(maxDigits) {
        number[0] = intPart;
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            number[i] = 0;
        }
    }
    private void VerifySameSize(BigNumber value) {
        if (Object.ReferenceEquals(this, value))
            throw new Exception("BigNumbers cannot operate on themselves");
        if (value.size != this.size)
            throw new Exception("BigNumbers must have the same size");
    }

    public void Add(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] +
                            value.number[index] + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                carry = 1;
            else
                carry = 0;
            index--;
        }
    }
    public void Subtract(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 borrow = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = 0x100000000U + (UInt64)number[index] -
                            value.number[index] - borrow;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                borrow = 0;
            else
                borrow = 1;
            index--;
        }
    }
    public void Multiply(UInt32 value) {
        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] * value + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            carry = (UInt32)(result >> 32);
            index--;
        }
    }
    public void Divide(UInt32 value) {
        int index = 0;
        while (index < size && number[index] == 0)
            index++;

        UInt32 carry = 0;
        while (index < size) {
            UInt64 result = number[index] + ((UInt64)carry << 32);
            number[index] = (UInt32)(result / (UInt64)value);
            carry = (UInt32)(result % (UInt64)value);
            index++;
        }
    }
    public void Assign(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            number[i] = value.number[i];
        }
    }

    public override string ToString() {
        BigNumber temp = new BigNumber(maxDigits);
        temp.Assign(this);

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.Append(temp.number[0]);
        sb.Append(System.Globalization.CultureInfo.CurrentCulture.NumberFormat.CurrencyDecimalSeparator);

        int digitCount = 0;
        while (digitCount < maxDigits) {
            temp.number[0] = 0;
            temp.Multiply(100000);
            sb.AppendFormat("{0:D5}", temp.number[0]);
            digitCount += 5;
        }

        return sb.ToString();
    }
    public bool IsZero() {
        foreach (UInt32 item in number) {
            if (item != 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

    public void ArcTan(UInt32 multiplicand, UInt32 reciprocal) {
        BigNumber X = new BigNumber(maxDigits, multiplicand);
        X.Divide(reciprocal);
        reciprocal *= reciprocal;

        this.Assign(X);

        BigNumber term = new BigNumber(maxDigits);
        UInt32 divisor = 1;
        bool subtractTerm = true;
        while (true) {
            X.Divide(reciprocal);
            term.Assign(X);
            divisor += 2;
            term.Divide(divisor);
            if (term.IsZero())
                break;

            if (subtractTerm)
                this.Subtract(term);
            else
                this.Add(term);
            subtractTerm = !subtractTerm;
        }
    }
}

Cette version (en Delphi) n'a rien de spécial, mais elle est au moins plus rapide que la version publiée par Nick Hodge sur son blog :).Sur ma machine, il faut environ 16 secondes pour faire un milliard d'itérations, ce qui donne une valeur de 3.1415926525879 (la partie exacte est en gras).

program calcpi;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

var
  start, finish: TDateTime;

function CalculatePi(iterations: integer): double;
var
  numerator, denominator, i: integer;
  sum: double;
begin
  {
  PI may be approximated with this formula:
  4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .......)
  //}
  numerator := 1;
  denominator := 1;
  sum := 0;
  for i := 1 to iterations do begin
    sum := sum + (numerator/denominator);
    denominator := denominator + 2;
    numerator := -numerator;
  end;
  Result := 4 * sum;
end;

begin
  try
    start := Now;
    WriteLn(FloatToStr(CalculatePi(StrToInt(ParamStr(1)))));
    finish := Now;
    WriteLn('Seconds:' + FormatDateTime('hh:mm:ss.zz',finish-start));
  except
    on E:Exception do
      Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
  end;
end.

Autrefois, avec des mots de petite taille et des opérations à virgule flottante lentes ou inexistantes, nous faisions des choses comme ceci :

/* Return approximation of n * PI; n is integer */
#define pi_times(n) (((n) * 22) / 7)

Pour les applications qui ne demandent pas beaucoup de précision (les jeux vidéo par exemple), cela est très rapide et suffisamment précis.

Si tu veux calculer une approximation de la valeur de π (pour une raison quelconque), vous devriez essayer un algorithme d'extraction binaire. Bellard amélioration de BBP donne PI en O(N^2).


Si tu veux obtenir une approximation de la valeur de π pour faire les calculs, alors :

PI = 3.141592654

Certes, ce n’est qu’une approximation et pas tout à fait exacte.C'est un peu plus de 0,00000000004102.(quatre dix billionièmes, environ 4/10,000,000,000).


Si tu veux faire mathématiques avec π, puis procurez-vous un crayon et du papier ou un logiciel de calcul formel et utilisez la valeur exacte de π, π.

Si vous voulez vraiment une formule, celle-ci est amusante :

π = -je ln(-1)

La méthode de Brent publiée ci-dessus par Chris est très bonne ;Brent est généralement un géant dans le domaine de l’arithmétique à précision arbitraire.

Si tout ce que vous voulez c'est le Nième chiffre, le fameuxFormule BBPest utile en hexadécimal

Calcul de π à partir de la zone du cercle :-)

<input id="range" type="range" min="10" max="960" value="10" step="50" oninput="calcPi()">
<br>
<div id="cont"></div>

<script>
function generateCircle(width) {
    var c = width/2;
    var delta = 1.0;
    var str = "";
    var xCount = 0;
    for (var x=0; x <= width; x++) {
        for (var y = 0; y <= width; y++) {
            var d = Math.sqrt((x-c)*(x-c) + (y-c)*(y-c));
            if (d > (width-1)/2) {
                str += '.';
            }
            else {
                xCount++;
                str += 'o';
            }
            str += "&nbsp;" 
        }
        str += "\n";
    }
    var pi = (xCount * 4) / (width * width);
    return [str, pi];
}

function calcPi() {
    var e = document.getElementById("cont");
    var width = document.getElementById("range").value;
    e.innerHTML = "<h4>Generating circle...</h4>";
    setTimeout(function() {
        var circ = generateCircle(width);
        e.innerHTML  = "<pre>" + "π = " + circ[1].toFixed(2) + "\n" + circ[0] +"</pre>";
    }, 200);
}
calcPi();
</script>

Meilleure approche

Pour obtenir la sortie de constantes standard comme pi ou les concepts standards, nous devons d'abord utiliser les méthodes intégrées disponibles dans le langage que vous utilisez.Il renverra de la valeur de la manière la plus rapide et la meilleure également.J'utilise Python pour obtenir le moyen le plus rapide d'obtenir la valeur pi

  • variable pi de la bibliothèque mathématique.La bibliothèque mathématique stocke la variable pi comme constante.

math_pi.py

import math
print math.pi

Exécutez le script avec l'utilitaire time de Linux /usr/bin/time -v python math_pi.py

Sortir:

Command being timed: "python math_pi.py"
User time (seconds): 0.01
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 91%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03
  • Utiliser la méthode mathématique arc cos

acos_pi.py

import math
print math.acos(-1)

Exécutez le script avec l'utilitaire time de Linux /usr/bin/time -v python acos_pi.py

Sortir:

Command being timed: "python acos_pi.py"
User time (seconds): 0.02
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 94%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

bbp_pi.py

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec=100
print sum(1/Decimal(16)**k * 
          (Decimal(4)/(8*k+1) - 
           Decimal(2)/(8*k+4) - 
           Decimal(1)/(8*k+5) -
           Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100))

Exécutez le script avec l'utilitaire time de Linux /usr/bin/time -v python bbp_pi.py

Sortir:

Command being timed: "python c.py"
User time (seconds): 0.05
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 98%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06

Le meilleur moyen est donc d’utiliser la méthode intégrée fournie par le langage, car elle est la plus rapide et la meilleure pour obtenir le résultat.En python, utilisez math.pi

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