Question

Je cherche le moyen le plus rapide d’obtenir la valeur de p, en tant que défi personnel. Plus précisément, j'utilise des méthodes qui n'impliquent pas l'utilisation de constantes #define telles que M_PI , ou le codage en dur du nombre.

Le programme ci-dessous teste les différentes méthodes que je connais. La version d'assemblage en ligne est, en théorie, l'option la plus rapide, bien que ce ne soit clairement pas portable. Je l'ai inclus comme base de comparaison avec les autres versions. Dans mes tests, avec les éléments intégrés, la version 4 * atan (1) est la plus rapide sur GCC 4.2, car elle replie automatiquement le atan (1) en une constante. . Avec -fno-builtin spécifié, la version atan2 (0, -1) est la plus rapide.

Voici le programme de test principal ( pitimes.c ):

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

#define ITERS 10000000
#define TESTWITH(x) {                                                       \
    diff = 0.0;                                                             \
    time1 = clock();                                                        \
    for (i = 0; i < ITERS; ++i)                                             \
        diff += (x) - M_PI;                                                 \
    time2 = clock();                                                        \
    printf("%s\t=> %e, time => %f\n", #x, diff, diffclock(time2, time1));   \
}

static inline double
diffclock(clock_t time1, clock_t time0)
{
    return (double) (time1 - time0) / CLOCKS_PER_SEC;
}

int
main()
{
    int i;
    clock_t time1, time2;
    double diff;

    /* Warmup. The atan2 case catches GCC's atan folding (which would
     * optimise the ``4 * atan(1) - M_PI'' to a no-op), if -fno-builtin
     * is not used. */
    TESTWITH(4 * atan(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))

#if defined(__GNUC__) && (defined(__i386__) || defined(__amd64__))
    extern double fldpi();
    TESTWITH(fldpi())
#endif

    /* Actual tests start here. */
    TESTWITH(atan2(0, -1))
    TESTWITH(acos(-1))
    TESTWITH(2 * asin(1))
    TESTWITH(4 * atan2(1, 1))
    TESTWITH(4 * atan(1))

    return 0;
}

Et les éléments d'assemblage en ligne ( fldpi.c ) qui ne fonctionneront que sur les systèmes x86 et x64:

double
fldpi()
{
    double pi;
    asm("fldpi" : "=t" (pi));
    return pi;
}

Et un script de construction qui construit toutes les configurations que je teste ( build.sh ):

#!/bin/sh
gcc -O3 -Wall -c           -m32 -o fldpi-32.o fldpi.c
gcc -O3 -Wall -c           -m64 -o fldpi-64.o fldpi.c

gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m32 -o pitimes1-32 pitimes.c fldpi-32.o
gcc -O3 -Wall              -m32 -o pitimes2-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m32 -o pitimes3-32 pitimes.c fldpi-32.o -lm
gcc -O3 -Wall -ffast-math  -m64 -o pitimes1-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall              -m64 -o pitimes2-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm
gcc -O3 -Wall -fno-builtin -m64 -o pitimes3-64 pitimes.c fldpi-64.o -lm

Hormis les tests entre les différents indicateurs du compilateur (j'ai également comparé les versions 32 bits et 64 bits car les optimisations sont différentes), j'ai également essayé d'inverser l'ordre des tests. Néanmoins, la version atan2 (0, -1) est toujours à la première place.

Était-ce utile?

La solution

La la méthode de Monte Carlo , comme mentionné, applique quelques grands concepts, mais elle le fait clairement: pas le plus rapide, pas de loin, pas de mesure raisonnable. En outre, tout dépend du type de précision que vous recherchez. Le plus rapide que je connaisse est celui avec les chiffres codés en dur. En consultant Pi et Pi [PDF] , il existe de nombreuses formules.

Voici une méthode qui converge rapidement - environ 14 chiffres par itération. PiFast , l'application la plus rapide actuellement utilisée, utilise cette formule avec la FFT. Je vais juste écrire la formule, car le code est simple. Cette formule a presque été trouvée par Ramanujan et découverte par Chudnovsky . C’est ainsi qu’il a calculé plusieurs milliards de chiffres du nombre - ce n’est donc pas une méthode à ignorer. La formule débordera rapidement et, puisque nous divisons les factoriels, il serait alors avantageux de retarder ces calculs pour supprimer les termes.

entrer la description de l

entrer la description de l

où,

entrer la description de l

Ci-dessous est le algorithme de Brent – ??Salamin . Wikipedia mentionne que lorsque a et b sont "assez proches". alors (a + b) ² / 4t sera une approximation de p. Je ne sais pas trop ce qui est "assez proche" signifie, mais d'après mes tests, une itération a 2 chiffres, deux 7 et 15 15, bien sûr, il s'agit bien de doublons, il est donc possible qu'il y ait une erreur basée sur sa représentation et le calcul true pourrait être plus précis.

let pi_2 iters =
    let rec loop_ a b t p i =
        if i = 0 then a,b,t,p
        else
            let a_n = (a +. b) /. 2.0 
            and b_n = sqrt (a*.b)
            and p_n = 2.0 *. p in
            let t_n = t -. (p *. (a -. a_n) *. (a -. a_n)) in
            loop_ a_n b_n t_n p_n (i - 1)
    in 
    let a,b,t,p = loop_ (1.0) (1.0 /. (sqrt 2.0)) (1.0/.4.0) (1.0) iters in
    (a +. b) *. (a +. b) /. (4.0 *. t)

Enfin, qu’en est-il du pi golf (800 chiffres)? 160 caractères!

int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Autres conseils

J'aime beaucoup ce programme, car il se rapproche de & # 960; en regardant sa propre région.

IOCCC 1988: westley.c

#define _ -F<00||--F-OO--;
int F=00,OO=00;main(){F_OO();printf("%1.3f\n",4.*-F/OO/OO);}F_OO()
{
            _-_-_-_
       _-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
 _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
  _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
    _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_
        _-_-_-_-_-_-_-_
            _-_-_-_
}

Voici une description générale d’une technique de calcul du pi que j’ai apprise au lycée.

Je ne partage cela que parce que j'estime qu'il est assez simple pour que quiconque puisse s'en souvenir indéfiniment. En outre, il vous enseigne le concept de "Monte-Carlo". méthodes - méthodes statistiques permettant d’arriver à des réponses qui ne semblent pas immédiatement déductibles par des processus aléatoires.

Dessinez un carré et écrivez un quadrant (un quart de demi-cercle) à l'intérieur de ce carré (quadrant de rayon égal au côté du carré, de sorte qu'il remplisse le plus possible le carré)

Lancez une fléchette sur la case et notez où elle atterrit - c’est-à-dire choisissez un point quelconque à l’intérieur de la case. Bien sûr, il a atterri à l'intérieur du carré, mais est-ce à l'intérieur du demi-cercle? Notez ce fait.

Répétez ce processus plusieurs fois - et vous constaterez qu’il existe un rapport entre le nombre de points à l’intérieur du demi-cercle et le nombre total jeté, appelez ce rapport x.

Etant donné que l'aire du carré est r fois r, vous pouvez en déduire que l'aire du demi-cercle est x fois r fois r (c'est-à-dire x fois r carré). Donc x fois 4 vous donneront pi.

Ce n'est pas une méthode rapide à utiliser. Mais c'est un bel exemple de méthode de Monte Carlo. Et si vous regardez autour de vous, vous découvrirez peut-être que de nombreux problèmes autres que vos compétences informatiques peuvent être résolus par de telles méthodes.

Par souci d'exhaustivité, une version de modèle C ++ qui, pour une construction optimisée, calculera une approximation de PI au moment de la compilation et s'alignera sur une valeur unique.

#include <iostream>

template<int I>
struct sign
{
    enum {value = (I % 2) == 0 ? 1 : -1};
};

template<int I, int J>
struct pi_calc
{
    inline static double value ()
    {
        return (pi_calc<I-1, J>::value () + pi_calc<I-1, J+1>::value ()) / 2.0;
    }
};

template<int J>
struct pi_calc<0, J>
{
    inline static double value ()
    {
        return (sign<J>::value * 4.0) / (2.0 * J + 1.0) + pi_calc<0, J-1>::value ();
    }
};


template<>
struct pi_calc<0, 0>
{
    inline static double value ()
    {
        return 4.0;
    }
};

template<int I>
struct pi
{
    inline static double value ()
    {
        return pi_calc<I, I>::value ();
    }
};

int main ()
{
    std::cout.precision (12);

    const double pi_value = pi<10>::value ();

    std::cout << "pi ~ " << pi_value << std::endl;

    return 0;
}

Note pour I & > 10, les constructions optimisées peuvent être lentes, de même que pour les exécutions non optimisées. Pour 12 itérations, je pense qu’il ya environ 80 000 appels à value () (en l’absence de mémoisation).

Il y a en fait tout un livre consacré (entre autres choses) aux méthodes rapides pour le calcul de \ pi: 'Pi and the AGM', par Jonathan et Peter Borwein ( disponible sur Amazon ).

J'ai étudié assez souvent l'AGM et les algorithmes associés: c'est assez intéressant (bien que parfois non trivial).

Notez que pour implémenter la plupart des algorithmes modernes de calcul de \ pi, vous aurez besoin d’une bibliothèque arithmétique multi-précision ( GMP est assez un bon choix, même si cela fait un moment que je ne l'ai pas utilisé pour la dernière fois).

La complexité temporelle des meilleurs algorithmes se trouve dans O (M (n) log (n)), où M (n) est la complexité temporelle de la multiplication de deux entiers à n bits (M (n) = O (n log (n) log (log (n))) à l'aide d'algorithmes basés sur la FFT, qui sont généralement nécessaires pour calculer les chiffres de \ pi, et qu'un tel algorithme est implémenté dans GMP).

Notez que, même si les mathématiques à la base des algorithmes ne sont peut-être pas triviales, les algorithmes eux-mêmes consistent généralement en quelques lignes de pseudo-code, et leur implémentation est généralement très simple (si vous choisissez de ne pas écrire votre propre arithmétique multi-précision: - )).

Ce qui suit indique comment procéder de la manière la plus rapide possible, avec le moins de ressources informatiques possible . Même si vous n’aimez pas la réponse, vous devez admettre que c’est le moyen le plus rapide d’obtenir la valeur de PI.

Le moyen le plus rapide pour obtenir la valeur de Pi est:

1) choisissez votre langage de programmation préféré 2) charger sa bibliothèque mathématique 3) et trouvez que Pi y est déjà défini - prêt à être utilisé!

Si vous n'avez pas de bibliothèque mathématique sous la main.

La solution DEUXIÈME PLUS RAPIDE (solution plus universelle) est la suivante:

recherchez Pi sur Internet, par exemple ici:

http://www.eveandersson.com/pi/digits/1000000 (1 million de chiffres .. quelle est votre précision en virgule flottante?)

ou ici:

ou ici:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi

C’est vraiment rapide de trouver les chiffres dont vous avez besoin pour l’arithmétique de précision que vous souhaitez utiliser, et en définissant une constante, vous pouvez vous assurer que vous ne perdez pas un temps précieux en temps processeur.

Non seulement cette réponse est-elle en partie humoristique, mais en réalité, si quelqu'un calculait la valeur de Pi dans une application réelle, ce serait une grosse perte de temps CPU, n'est-ce pas? Au moins, je ne vois pas de réelle application pour essayer de recalculer cela.

Cher modérateur, veuillez noter que le PO a demandé: "Le moyen le plus rapide d’obtenir la valeur de PI"

La la formule BBP vous permet de calculer le nième chiffre - en base 2 (ou 16) - sans même avoir à vous soucier des n-1 chiffres précédents:)

Au lieu de définir pi comme une constante, j'utilise toujours acos (-1) .

Je viens de trouver celui qui devrait être ici pour être complet:

calculer l'IP dans Piet

Il a la propriété plutôt agréable que la précision peut être améliorée en rendant le programme plus grand.

Voici un aperçu du langage lui-même

Si cet article est vrai, le l'algorithme créé par Bellard pourrait être l'un des plus rapides disponibles. Il a créé pi à 2,7 milliards de chiffres à l’aide d’un PC de bureau!

... et il a publié son travail ici

Bon travail Bellard, vous êtes un pionnier!

http://www.theregister.co.uk/2010/01 / 06 / very_long_pi /

Ceci est un "classique" méthode, très facile à mettre en œuvre. Cette implémentation, en python (langage pas si rapide), fait:

from math import pi
from time import time


precision = 10**6 # higher value -> higher precision
                  # lower  value -> higher speed

t = time()

calc = 0
for k in xrange(0, precision):
    calc += ((-1)**k) / (2*k+1.)
calc *= 4. # this is just a little optimization

t = time()-t

print "Calculated: %.40f" % calc
print "Costant pi: %.40f" % pi
print "Difference: %.40f" % abs(calc-pi)
print "Time elapsed: %s" % repr(t)

Pour plus d'informations, cliquez ici .

Quoi qu’il en soit, le moyen le plus rapide d’obtenir une valeur de pi en python aussi précise que possible est:

from gmpy import pi
print pi(3000) # the rule is the same as 
               # the precision on the previous code

voici le morceau de source pour la méthode gmpy pi, je ne pense pas que le code soit aussi utile que le commentaire dans ce cas:

static char doc_pi[]="\
pi(n): returns pi with n bits of precision in an mpf object\n\
";

/* This function was originally from netlib, package bmp, by
 * Richard P. Brent. Paulo Cesar Pereira de Andrade converted
 * it to C and used it in his LISP interpreter.
 *
 * Original comments:
 * 
 *   sets mp pi = 3.14159... to the available precision.
 *   uses the gauss-legendre algorithm.
 *   this method requires time o(ln(t)m(t)), so it is slower
 *   than mppi if m(t) = o(t**2), but would be faster for
 *   large t if a faster multiplication algorithm were used
 *   (see comments in mpmul).
 *   for a description of the method, see - multiple-precision
 *   zero-finding and the complexity of elementary function
 *   evaluation (by r. p. brent), in analytic computational
 *   complexity (edited by j. f. traub), academic press, 1976, 151-176.
 *   rounding options not implemented, no guard digits used.
*/
static PyObject *
Pygmpy_pi(PyObject *self, PyObject *args)
{
    PympfObject *pi;
    int precision;
    mpf_t r_i2, r_i3, r_i4;
    mpf_t ix;

    ONE_ARG("pi", "i", &precision);
    if(!(pi = Pympf_new(precision))) {
        return NULL;
    }

    mpf_set_si(pi->f, 1);

    mpf_init(ix);
    mpf_set_ui(ix, 1);

    mpf_init2(r_i2, precision);

    mpf_init2(r_i3, precision);
    mpf_set_d(r_i3, 0.25);

    mpf_init2(r_i4, precision);
    mpf_set_d(r_i4, 0.5);
    mpf_sqrt(r_i4, r_i4);

    for (;;) {
        mpf_set(r_i2, pi->f);
        mpf_add(pi->f, pi->f, r_i4);
        mpf_div_ui(pi->f, pi->f, 2);
        mpf_mul(r_i4, r_i2, r_i4);
        mpf_sub(r_i2, pi->f, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, r_i2);
        mpf_mul(r_i2, r_i2, ix);
        mpf_sub(r_i3, r_i3, r_i2);
        mpf_sqrt(r_i4, r_i4);
        mpf_mul_ui(ix, ix, 2);
        /* Check for convergence */
        if (!(mpf_cmp_si(r_i2, 0) && 
              mpf_get_prec(r_i2) >= (unsigned)precision)) {
            mpf_mul(pi->f, pi->f, r_i4);
            mpf_div(pi->f, pi->f, r_i3);
            break;
        }
    }

    mpf_clear(ix);
    mpf_clear(r_i2);
    mpf_clear(r_i3);
    mpf_clear(r_i4);

    return (PyObject*)pi;
}

MODIFIER: Un problème de copier-coller et d’identité me pose problème. Vous pouvez néanmoins trouver la source ici .

Si vous entendez le plus rapide le plus rapidement possible, saisissez la solution de golfscript :

;''6666,-2%{2+.2/@*\/10.3??2*+}*`1000<~\;

Utilisez la formule de type Machin

176 * arctan (1/57) + 28 * arctan (1/239) - 48 * arctan (1/682) + 96 * arctan(1/12943) 

[; \left( 176 \arctan \frac{1}{57} + 28 \arctan \frac{1}{239} - 48 \arctan \frac{1}{682} + 96 \arctan \frac{1}{12943}\right) ;], for you TeX the World people.

Implémenté dans Scheme, par exemple:

(+ (- (+ (* 176 (atan (/ 1 57)))) (* 28 (atan (/ 1 239)))) (* 48 (atan (/ 1 682)))) (* 96 (atan (/ 1 12943))))

Si vous souhaitez utiliser une approximation, 355/113 convient pour 6 chiffres décimaux et présente l'avantage supplémentaire de pouvoir être utilisé avec des expressions entières. Ce n'est pas aussi important de nos jours que "co-processeur mathématique en virgule flottante". cessé d'avoir un sens, mais c'était très important une fois.

Avec les doubles:

4.0 * (4.0 * Math.Atan(0.2) - Math.Atan(1.0 / 239.0))

Cela sera précis jusqu’à 14 décimales, assez pour remplir un double (l’inexactitude est probablement due au fait que le reste des décimales dans les tangentes de l’arc sont tronquées).

Aussi, Seth, c’est le 3.14159265358979323846 3 , pas 64.

Calculez PI à la compilation avec D.

(Copié à partir de DSource.org . )

/** Calculate pi at compile time
 *
 * Compile with dmd -c pi.d
 */
module calcpi;

import meta.math;
import meta.conv;

/** real evaluateSeries!(real x, real metafunction!(real y, int n) term)
 *
 * Evaluate a power series at compile time.
 *
 * Given a metafunction of the form
 *  real term!(real y, int n),
 * which gives the nth term of a convergent series at the point y
 * (where the first term is n==1), and a real number x,
 * this metafunction calculates the infinite sum at the point x
 * by adding terms until the sum doesn't change any more.
 */
template evaluateSeries(real x, alias term, int n=1, real sumsofar=0.0)
{
  static if (n>1 && sumsofar == sumsofar + term!(x, n+1)) {
     const real evaluateSeries = sumsofar;
  } else {
     const real evaluateSeries = evaluateSeries!(x, term, n+1, sumsofar + term!(x, n));
  }
}

/*** Calculate atan(x) at compile time.
 *
 * Uses the Maclaurin formula
 *  atan(z) = z - z^3/3 + Z^5/5 - Z^7/7 + ...
 */
template atan(real z)
{
    const real atan = evaluateSeries!(z, atanTerm);
}

template atanTerm(real x, int n)
{
    const real atanTerm =  (n & 1 ? 1 : -1) * pow!(x, 2*n-1)/(2*n-1);
}

/// Machin's formula for pi
/// pi/4 = 4 atan(1/5) - atan(1/239).
pragma(msg, "PI = " ~ fcvt!(4.0 * (4*atan!(1/5.0) - atan!(1/239.0))) );

Pi est exactement 3! [Prof. Frink (Simpsons)]

Joke, mais en voici un en C # (.NET-Framework requis).

using System;
using System.Text;

class Program {
    static void Main(string[] args) {
        int Digits = 100;

        BigNumber x = new BigNumber(Digits);
        BigNumber y = new BigNumber(Digits);
        x.ArcTan(16, 5);
        y.ArcTan(4, 239);
        x.Subtract(y);
        string pi = x.ToString();
        Console.WriteLine(pi);
    }
}

public class BigNumber {
    private UInt32[] number;
    private int size;
    private int maxDigits;

    public BigNumber(int maxDigits) {
        this.maxDigits = maxDigits;
        this.size = (int)Math.Ceiling((float)maxDigits * 0.104) + 2;
        number = new UInt32[size];
    }
    public BigNumber(int maxDigits, UInt32 intPart)
        : this(maxDigits) {
        number[0] = intPart;
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            number[i] = 0;
        }
    }
    private void VerifySameSize(BigNumber value) {
        if (Object.ReferenceEquals(this, value))
            throw new Exception("BigNumbers cannot operate on themselves");
        if (value.size != this.size)
            throw new Exception("BigNumbers must have the same size");
    }

    public void Add(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] +
                            value.number[index] + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                carry = 1;
            else
                carry = 0;
            index--;
        }
    }
    public void Subtract(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);

        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && value.number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 borrow = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = 0x100000000U + (UInt64)number[index] -
                            value.number[index] - borrow;
            number[index] = (UInt32)result;
            if (result >= 0x100000000U)
                borrow = 0;
            else
                borrow = 1;
            index--;
        }
    }
    public void Multiply(UInt32 value) {
        int index = size - 1;
        while (index >= 0 && number[index] == 0)
            index--;

        UInt32 carry = 0;
        while (index >= 0) {
            UInt64 result = (UInt64)number[index] * value + carry;
            number[index] = (UInt32)result;
            carry = (UInt32)(result >> 32);
            index--;
        }
    }
    public void Divide(UInt32 value) {
        int index = 0;
        while (index < size && number[index] == 0)
            index++;

        UInt32 carry = 0;
        while (index < size) {
            UInt64 result = number[index] + ((UInt64)carry << 32);
            number[index] = (UInt32)(result / (UInt64)value);
            carry = (UInt32)(result % (UInt64)value);
            index++;
        }
    }
    public void Assign(BigNumber value) {
        VerifySameSize(value);
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            number[i] = value.number[i];
        }
    }

    public override string ToString() {
        BigNumber temp = new BigNumber(maxDigits);
        temp.Assign(this);

        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.Append(temp.number[0]);
        sb.Append(System.Globalization.CultureInfo.CurrentCulture.NumberFormat.CurrencyDecimalSeparator);

        int digitCount = 0;
        while (digitCount < maxDigits) {
            temp.number[0] = 0;
            temp.Multiply(100000);
            sb.AppendFormat("{0:D5}", temp.number[0]);
            digitCount += 5;
        }

        return sb.ToString();
    }
    public bool IsZero() {
        foreach (UInt32 item in number) {
            if (item != 0)
                return false;
        }
        return true;
    }

    public void ArcTan(UInt32 multiplicand, UInt32 reciprocal) {
        BigNumber X = new BigNumber(maxDigits, multiplicand);
        X.Divide(reciprocal);
        reciprocal *= reciprocal;

        this.Assign(X);

        BigNumber term = new BigNumber(maxDigits);
        UInt32 divisor = 1;
        bool subtractTerm = true;
        while (true) {
            X.Divide(reciprocal);
            term.Assign(X);
            divisor += 2;
            term.Divide(divisor);
            if (term.IsZero())
                break;

            if (subtractTerm)
                this.Subtract(term);
            else
                this.Add(term);
            subtractTerm = !subtractTerm;
        }
    }
}

Cette version (à Delphi) n’a rien de spécial, mais elle est au moins plus rapide que la version de Nick Hodge publiée sur son blog :). Sur ma machine, il faut environ 16 secondes pour effectuer un milliard d’itérations, ce qui donne une valeur de 3.14159265 25879 (la partie exacte est en gras).

program calcpi;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
  SysUtils;

var
  start, finish: TDateTime;

function CalculatePi(iterations: integer): double;
var
  numerator, denominator, i: integer;
  sum: double;
begin
  {
  PI may be approximated with this formula:
  4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 .......)
  //}
  numerator := 1;
  denominator := 1;
  sum := 0;
  for i := 1 to iterations do begin
    sum := sum + (numerator/denominator);
    denominator := denominator + 2;
    numerator := -numerator;
  end;
  Result := 4 * sum;
end;

begin
  try
    start := Now;
    WriteLn(FloatToStr(CalculatePi(StrToInt(ParamStr(1)))));
    finish := Now;
    WriteLn('Seconds:' + FormatDateTime('hh:mm:ss.zz',finish-start));
  except
    on E:Exception do
      Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
  end;
end.

Autrefois, avec des mots de petite taille et des opérations en virgule flottante lentes ou inexistantes, nous avions l'habitude de faire des choses comme celle-ci:

/* Return approximation of n * PI; n is integer */
#define pi_times(n) (((n) * 22) / 7)

Pour les applications nécessitant peu de précision (jeux vidéo, par exemple), cela est très rapide et suffisamment précis.

Si vous voulez calculer une approximation de la valeur de p (pour une raison quelconque), vous devriez essayer un algorithme d'extraction binaire. Amélioration de Bellard de BBP donne le PI en O (N ^ 2).

Si vous voulez obtenir une approximation de la valeur de p pour effectuer des calculs, alors:

PI = 3.141592654

Bien sûr, ce n’est qu’une approximation, et elle n’est pas tout à fait exacte. Il est désactivé par un peu plus de 0.00000000004102. (quatre dix milliards, environ 4 / 10 000 000 000 ).

Si vous voulez faire des maths avec p, procurez-vous un crayon et du papier ou un paquet de calcul algébrique, et utilisez la valeur exacte de p, p.

Si vous voulez vraiment une formule, celle-ci est amusante:

p = - i ln (-1)

La méthode de Brent publiée ci-dessus par Chris est très bonne. Brent est généralement un géant dans le domaine de l'arithmétique à précision arbitraire.

Si vous ne voulez que le Nième chiffre, le célèbre formule BBP est utile en hexadécimal

Calcul de p à partir de la zone du cercle: -)

<input id="range" type="range" min="10" max="960" value="10" step="50" oninput="calcPi()">
<br>
<div id="cont"></div>

<script>
function generateCircle(width) {
    var c = width/2;
    var delta = 1.0;
    var str = "";
    var xCount = 0;
    for (var x=0; x <= width; x++) {
        for (var y = 0; y <= width; y++) {
            var d = Math.sqrt((x-c)*(x-c) + (y-c)*(y-c));
            if (d > (width-1)/2) {
                str += '.';
            }
            else {
                xCount++;
                str += 'o';
            }
            str += "&nbsp;" 
        }
        str += "\n";
    }
    var pi = (xCount * 4) / (width * width);
    return [str, pi];
}

function calcPi() {
    var e = document.getElementById("cont");
    var width = document.getElementById("range").value;
    e.innerHTML = "<h4>Generating circle...</h4>";
    setTimeout(function() {
        var circ = generateCircle(width);
        e.innerHTML  = "<pre>" + "π = " + circ[1].toFixed(2) + "\n" + circ[0] +"</pre>";
    }, 200);
}
calcPi();
</script>

Meilleure approche

Pour obtenir le résultat de constantes standard telles que pi ou des concepts standard, nous devons d’abord utiliser les méthodes intégrées disponibles dans le langage que vous utilisez. Il retournera de la valeur de la manière la plus rapide et de la meilleure manière également. J'utilise python pour obtenir le moyen le plus rapide d'obtenir la valeur pi

  • Variable pi de la bibliothèque mathématique . La bibliothèque mathématique stocke la variable pi en tant que constante.

math_pi.py

import math
print math.pi

Exécutez le script avec l'utilitaire time de linux / usr / bin / time -v python math_pi.py

Sortie:

Command being timed: "python math_pi.py"
User time (seconds): 0.01
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 91%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03
  • Utiliser la méthode mathématique arc cos

acos_pi.py

import math
print math.acos(-1)

Exécutez le script avec l'utilitaire time de linux / usr / bin / time -v python acos_pi.py

Sortie:

Command being timed: "python acos_pi.py"
User time (seconds): 0.02
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 94%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.03

bbp_pi.py

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec=100
print sum(1/Decimal(16)**k * 
          (Decimal(4)/(8*k+1) - 
           Decimal(2)/(8*k+4) - 
           Decimal(1)/(8*k+5) -
           Decimal(1)/(8*k+6)) for k in range(100))

Exécutez le script avec l'utilitaire time de linux / usr / bin / time -v python bbp_pi.py

Sortie:

Command being timed: "python c.py"
User time (seconds): 0.05
System time (seconds): 0.01
Percent of CPU this job got: 98%
Elapsed (wall clock) time (h:mm:ss or m:ss): 0:00.06

Le meilleur moyen consiste donc à utiliser la méthode intégrée fournie par le langage car elle est la plus rapide et la meilleure pour obtenir le résultat. En python, utilisez math.pi

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