Pourquoi $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ \ oméga (\ sqrt {\ \ journal n})}} $ ne réfute pas la limite inférieure $ O (n ^ {3- \ delta}) $?

Question

J'ai un quesit simple:

Il est conjecturé que tous les paires de chemin les plus courts (APSP) n'avaient pas de $ o (n ^ {3- \ delta)} $ algorithme de-temps pour tout $ \ delta> 0 $ par Seth.

aussi

Il y a un résultat qui dit APSP peut être résolu dans le temps $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ \ \ omega (\ sqrt {\ journal n})}} $ par Ryan Williams .

Mais cette amélioration ne réfute pas les conjectures.

Alors, ce que j'ai fait est comme suit: je comparez entre $ \ lim_ {n -> \ \ inft} \ frac {(\ frac {n ^ 3} {2 ^ { \ sqrt {\ journal n}}})} {n ^ {3- \ delta}}= 0 $ donc, $ \ frac {n ^ 3} {n ^ 3} {2 ^ {\ \ \ Oméga (\ sqrt {\ journal n})}} $ est meilleur que l'autre, alors pourquoi cela ne signifie pas que nous réfutons la conjecture.

Quand j'ai cette fonction: $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ \ \ omega (\ sqrt {\ journal n})}} $ , Je ne savais pas comment comparer-le avec d'autres depuis que Big Omega n'est qu'une partie de cela, comment comparer en général avec une autre fonction lorsque vous en avez celui-ci?

Merci d'avance!

Answer 1

La déclaration "Non $ O (N ^ {3- \ Delta}) Algorithme existe" (pour toute constante $ \ delta> 0 $ ) signifie qu'il n'y a pas d'algorithme qui est un facteur polynomial plus rapide que $ \ theta (n ^ 3) $ . Il n'exclut pas les algorithmes plus rapides de certains moins que polynomial facteur . Par exemple, il n'exclut pas les algorithmes avec une durée d'exécution de $ \ theta (\ frac {n ^ 3} {\ journal n}) $ .

Dans votre cas, l'ensemble 2 ^ {\ OMEGA (\ SQRT {\ \ \ \ omega (\ sqrt {\ journal n})} $ inclut des fonctions qui poussent plus lentement que tout polynôme. Par exemple 2 ^ {\ SQRT {\ journal n}} $ . Pour voir cela, choisissez n'importe quelle constante $ \ epsilon> 0 $ et remarquez que:

$$ \ lim_ {n \ to \fty} \ frac {2 ^ ^ {\ sqrt {\ journal n}}} {n ^ \ epsilon}= \ lim_ {n \ to \fty} \ frac {2 ^ ^ \ \ sqrt {\ journal n}}} {2 ^ {\ epsilon \ journal n}}= \ lim_ {n \ to \ \fty} 2 ^ {\ sqrt {\ journal n} - \ epsilon \ journal n}= 0. $$

Answer 2

On dirait que la comparaison dans la question est fausse.

$$ \ commencez {aligné} \ LIM_ {N -> \ \ \ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ ^ {\ sqrt {\ journal n}}}} {\ \n^ {3- \ delta} \ \} &=lim_ {n -> \ inft} \ frac {n ^ {\ delta}} {2 ^ {\ sqrt {\ {\ sqrt {\ journal n}}}=lim_ {n -> \ \} \ frac {2 ^ {\ delta \ journal n}} {2 ^ {\ \ sqrt {\ journal n}}} \\ &=lim_ {n -> \ \ \ \ delta \ journal n- \ sqrt {\ journal n}}=lim_ {m -> \ \ \ \ \ \ delta m- \ sqrt {m} } \\ &=lim_ {m -> \ \} 2 ^ {\ sqrt m (\ delta \ sqrt {m} -1)} \\ &= 2 ^ {+ \ \fty}= + \fty. \\ \ fin {aligné} $$

ici $ \ journal n $ est compris comme $ \ log_2n $ . Depuis $ \ log_a n=log_a2 \ cdot \ log_2n $ , la limite ci-dessus sera encore à l'infini si la base de $ \ log $ est basculé sur n'importe quel nombre supérieur à 1.

En fait, pour toute constante $ C> 0 $ , aussi petit que c'est plus petit, et toute constante $ \ delta> 0 $ , aussi petit que c'est, nous avons encore, par argument similaire,

$$ \ lim_ {n \ to \ft} \ frac {\ frac {n ^ 3} {2 ^ {c \ sqrt {\ journal n}}}} { \ \ \ {n ^ {3- \ delta} \ \ \}}= + \ \fty. $$

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je comparer entre $ \ lim_ {n -> \ \ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ journal n}}}} {\ \ \n^ ^ {3- \ delta} \ \}= 0 $ donc, $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ 3} {2 ^ \ \ omega (\ sqrt {\ journal n})}} $ est meilleur que l'autre, alors pourquoi cela ne signifie pas que nous réfutons la conjecture.

Pour être plus prudent, il y a une autre erreur dans le raisonnement ci-dessus. Même si $ \ lim_ {N -> \ \ \ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ journal n}}}} {\ \n^ {3- \ delta} \ \ \}= 0 $ , il n'implique pas qu'il réfutera la conjecture. Le point est, "APSP peut être résolu dans le temps $ \ dfrac {n ^ 3} {2 ^ \ \ omega (\ sqrt {\ journal n \})}} $ "pourrait être vrai car il peut être résolu dans le temps $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {0,01 \ sqrt {\ journal n \ \}}} $ , pas parce que cela peut être résolu dans le temps $ \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ sqrt {\ journal n \ \}}} $ " . Si vous voulez utiliser le fait que "APSP peut être résolu dans le temps $ \ dfrac {n ^ 3} {2 ^ {\ omega (\ sqrt {\ journal n \}) }} $ "Pour réfuter la conjecture, vous devez montrer que

$$ o (n ^ {3- \ delta}) \ cap \ frac {n ^ 3} {2 ^ {\ \ omega (\ sqrt {\ journal n}) }}=Ekytset, $$ ou, en mots clairs, il n'y a pas de fonction $ F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ journal n}) $ telle que $ \ dfrac {n ^ 3} f \ in o (n ^ {3- \ delta}) $ .

Eh bien, en fait, l'autre extrême est vrai. $ \ dfrac {n ^ 3} f \ in o (n ^ {3- \ delta}) $ pour tous $ f \ in \ \ oméga (\ sqrt {\ journal n}) $ .