Comment convertir un filtre passe-bas en filtre passe-bande

Question

J'ai un filtre passe-bas décrit par la fonction de transfert suivante:

h [n] = (w_c / Pi) * sinc (n * w_c / Pi), où est w_c la fréquence de coupure

Je dois convertir ce filtre passe-bas en filtre passe-bande.

Answer 1

Vous h [n] se transforme en rect dans le domaine fréquentiel. Pour que la bande passe, vous devez augmenter la fréquence centrale.

Pour ce faire, multipliez h [n] par exp (j * w_offset * n) , où w_offset correspond au montant à déplacer . Si w_offset est positif, vous passez à des fréquences plus élevées.

La multiplication dans le domaine temporel correspond à la convolution dans le domaine fréquentiel. Puisque exp (j * w_offset * n) se transforme en fonction d'impulsion centrée sur w_offset , la multiplication décale le H (w) de . w_offset .

Voir Transformation de Fourier en temps discret pour plus de détails.

Remarque : un tel filtre ne sera pas symétrique autour de 0, ce qui signifie qu'il aura des valeurs complexes. Pour le rendre symétrique, vous devez ajouter h [n] multiplié par exp (-j * w_offset * n) :

h_bandpass [n] = h [n] (exp (j * w_offset * n) + exp (-j * w_offset * n))

Puisque cos (w * n) = (exp (j * w * n) + exp (-j * w * n)) / 2 , nous obtenons:

h_bandpass [n] = h [n] cos (w_offset * n)

Ce filtre a alors des valeurs purement réelles.

Answer 2

La réponse courte est que vous allez multiplier par une exponentielle complexe dans le domaine temporel. La multiplication dans le domaine temporel décale le signal dans le domaine fréquentiel.

Code Matlab:

n_taps = 100;
n = 1:n_taps;
h = ( w_c / Pi ) * sinc( ( n - n_taps / 2) * w_c / Pi ) .* ...
    exp( i * w_offset * ( n - n_taps / 2) );

p.s. Je venais de mettre en œuvre cette fonctionnalité exacte pour l'école il y a quelques semaines.

Voici le code permettant de créer votre propre filtre passe-bande en utilisant la méthode de fenêtrage:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Function: Create bandpass filter using windowing method
% Purpose:  Simple method for creating filter taps ( useful when more elaborate
%           filter design libraries are not available )
%
% @author   Trevor B. Smith, 24MAR2009
%
% @param    n_taps    How many taps are in your output filter
% @param    omega_p1  The lower cutoff frequency for your passband filter
% @param    omega_p2  The upper cutoff frequency for your passband filter
% @return   h_bpf_hammingWindow     The filter coefficients for your passband filter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function h_bpf_hammingWindow = BPF_hammingWindow(n_taps,omega_p1,omega_p2)
    % Error checking
    if( ( omega_p2 == omega_p1 ) || ( omega_p2 < omega_p1 ) || ( n_taps < 10 ) )
        str = 'ERROR - h_bpf_hammingWindow():   Incorrect input parameters'
        h_bpf_hammingWindow = -1;
        return;
    end

    % Compute constants from function parameters
    length = n_taps - 1; % How many units of T ( i.e. how many units of T, sampling period, in the continuous time. )
    passbandLength = omega_p2 - omega_p1;
    passbandCenter = ( omega_p2 + omega_p1 ) / 2;
    omega_c = passbandLength / 2; % LPF omega_c is half the size of the BPF passband
    isHalfSample = 0;
    if( mod(length,2) == 1 )
        isHalfSample = 1/2;
    end

    % Compute hamming window
    window_hamming = hamming(n_taps);

    % Compute time domain samples
    n = transpose(-ceil(length/2):floor(length/2));
    h1 = sinc( (1/pi) * omega_c * ( n + isHalfSample ) ) * pi .* exp( i * passbandCenter * ( n + isHalfSample ) );

    % Window the time domain samples
    h2 = h1 .* window_hamming;
    if 1
        figure; stem(h2); figure; freqz(h2);
    end

    % Return filter coefficients
    h_bpf_hammingWindow = h2;
end % function BPF_hammingWindow()

Exemple d'utilisation de cette fonction:

h_bpf_hammingWindow = BPF_hammingWindow( 36, pi/4, 3*pi/4 );
freqz(h_bpf_hammingWindow); % View the frequency domain

Answer 3

Soit f [n] le signal que vous obtenez du filtre passe-bas avec w_c à la limite inférieure de la bande souhaitée. Vous pouvez obtenir les fréquences supérieures à cette limite inférieure en soustrayant f [n] du signal d'origine. C'est l'entrée que vous voulez pour le deuxième filtre passe-bas.