Camminata casuale sulla linea intera

Question

Supponiamo che stiamo facendo una passeggiata casuale sulla linea intera infinita e che prendiamo passaggi totali di $ 2n $. Ad ogni passo di questa passeggiata, la posizione del deambulatore è un punto intero su questa linea. Per il passaggio successivo di questa passeggiata, il Walker si sposta su uno dei due punti interi adiacenti/vicini con uguale probabilità (supponiamo che iniziamo a Integer 0). Lascia che $ s_l $ e $ s_r $ sia variabili casuali che indicano il numero di passi a sinistra e le fasi a destra fatte su tutta la passeggiata $ 2n $-pat, rispettivamente.

Ci sono due cose che vorrei mostrare:

(1): per qualsiasi $ t> 0 $, esiste un costante $ c> 0 $ tale che pr $ [| s_l - s_r | > c sqrt {n}] leq t $.

(2): deriva un limite su $ beta $ dato che pr $ [| s_l - s_r | > beta] geq 1 - frac {1} {n} $ (IE, trova un limite su $ beta $ che ci dà una garanzia ad alta probabilità).

Un approccio che sto prendendo in considerazione è che possiamo prendere $ | s_l - s_r | $ come variabile casuale $ d_ {2n} $ indicando la distanza dall'origine dopo $ 2n $ passi. Ora possiamo calcolare $ e [d_ {2n}] ca.al sqrt { frac {2} { pi}} sqrt {2n} $. Immagino che a questo punto avrei bisogno di applicare un limite di Chernoff o la disuguaglianza di Chebyshev, ma non sono sicuro di come applicare neanche in questo contesto.